Функционально- графические методы решения заданий типа С5. Подготовила ученица 11 класса ФМ МОУ лицей Хисматуллина Екатерина

Встречающиеся задачи на исследование уравнения или неравенства с параметром а можно записать в виде f (x, a) g(x, a), где символ заменяет один из знаков =, >, <,,. Так как основу уравнений и неравенств составляют выражения f (x, a) и g (x, a), то в зависимости от того, какая роль отводится параметру в задаче (параметр – фиксированное число, или параметр – переменная), запись f (x, a) рассматривается либо как семейство функций с переменной x, либо как выражение с двумя переменными x и а.

В соответствии с этим используется два основных графических приема решения подобных задач: 1. построение графического образа задачи на координатной плоскости Oxy, 2. построение графического образа задачи на координатных плоскостях Oxa или Oax.

Координатная плоскость Oxy задачи вида f (x) a При решении задач данного вида на координатной плоскости Oxy изображают график функции y = f (x). Тогда при заданном значении параметра a множество решений уравнения f (x) = a является проекцией на ось абсцисс точек пересечения горизонтальной прямой y = a с графиком функции f (x), а множество решений неравенства f (x) a является проекцией на ось абсцисс всех точек прямой y = a, ординаты которых удовлетворяют неравенству f (x) a.

Задачи вида f (x) g(x)+ a и параллельный перенос графика вдоль оси Оу При решении задач данного вида используется семейство функций g a (x)=g(x)+a, графики которых отличаются от графика функции y=g(x) смещением вдоль оси Оу на а единиц вверх при a>0, вниз – при a<0. Рассмотрим пример 76.

Задачи вида f (x) g(x+a) и параллельный перенос графика вдоль оси Ох При решении задач данного вида используется семейство функций g a (x) = g(x+a), графики которых отличаются от графика функции y = g(x) смещением вдоль оси Ох на а единиц влево при a > 0, вправо – при a < 0. Рассмотрим пример 78.

Задачи вида f(x)a(x-x 0 )+y 0 и поворот графика относительно точки Рассмотрим применение семейства функций вида f a (x)a(x-x 0 )+y 0, которому соответствует семейство прямых, проходящих через точку (x 0,y 0 ). Параметр а выполняет роль углового коэффициента указанных прямых, поэтому при увеличении значений параметра получаем прямые, отличающиеся друг из друга поворотом на некоторый угол против часовой стрелки относительно точки (x 0,y 0 ) (центр поворота). Множество прямых, проходящих через точку (x 0,y 0 ), называют еще пучком прямых, где (x 0,y 0 ) является центром пучка. Рассмотрим пример 80.

Задачи вида f(x) ag(x) и сжатие (растяжение) графика вдоль оси Оу При решении задач данного вида используется семейство функций g a (x) = ag(x), графики которых отличаются от графика функции y = g(x) сжатием (растяжением) вдоль оси Оу: растяжением, если a >1; сжатием при 0 < a <1; преобразованием симметрии относительно оси x, если a = -1; сочетанием указанных преобразований для остальных значений a 0.

Задачи общего вида f(a;x) g(a;x) Наибольшую трудность представляют задачи, в которых исследуется взаимное расположение графиков двух семейств функций. Рассмотрим пример 84.

Координатные плоскости Оха и Оах Данный метод представляет собой некоторое обобщение графического метода решения уравнений и неравенств, основанного на использовании координатной плоскости Oxa или Oax. В последнем случае ось Ox называют координатной, ось Oa – параметрической, а плоскости Oxa и Oax – координатно-параметрическими (или КП – плоскостями). При использовании это метода исходное уравнение (или неравенство) преобразуют к виду aφ(x) или xψ(a).

В первом случае на плоскости Oxa строят график функции φ(x), а затем, пересекая полученный график прямыми, параллельными оси Ox, получают необходимую информацию. Во втором – производят построения графика функции ψ(a) на плоскости Oax. Другой вариант этого приема связан с нахождением графического решения уравнения (неравенства) вида f(x, a) 0, а затем его аналитической интерпретацией. Построение графика уравнения f(x, a)=0 с двумя переменными x и а на плоскости Oax является основой для ответа на поставленный вопрос о решениях уравнения с параметром.

Графическим решением неравенства f(x, a)0, где символ заменяет один из знаков >, <,,, являются множества точек (области) плоскости, координаты которых удовлетворяют данному неравенству. При решении конкретной задачи координатно- параметрическим методом в ходе решения плоскость Oxa разбивается на «частичные области», внутри каждой из которых геометрически интерпретируется и решается поставленная задача.

Задачи вида aφ(x) или xψ(a) При решении уравнения или неравенства f (x, a) g(x, a) иногда удается выразить одну из переменных в явном виде, что позволяет перейти от задачи с параметром к задаче без параметра, а именно к исследованию функциональной зависимости одной переменной от другой. Для решения неравенств полезным будет напомнить одно простое утверждение: пусть имеется график функции y = f(x), тогда множество точек плоскости, расположенных выше графика, будет геометрическим изображением решения неравенства y > f(x), а для точек, лежащих ниже графика – неравенства y < f(x).

Задачи вида f(a, x) 0 Рассмотрим уравнения и неравенства, в которых переменные x или a заданы в неявном виде, и выразить какую-либо переменную в явном виде сложно. В задачах уравнение с двумя переменными f(a, x)=0, как правило, задает на координатной плоскости некоторые линии. Это составляет основу при решении неравенств. Для решения неравенств вида f (a, x) 0 удобно использовать метод областей, суть которого представлена ниже при решении примеров. Для решения уравнений или неравенств, содержащих знак модуля, обычно используют метод «частичных областей». Основная идея этого метода состоит в том, что решение задачи в исходной области (в частности, на плоскости Oxa ) сводится к решению совокупности смешанных систем (уравнений и неравенств), не содержащих знаков абсолютной величины, в каждой частичной области, на которые разбивается исходная область. Рассмотрим пример 87.