СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ (9 класс) Разработано учителем математики МОУ «СОШ» п. Аджером МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района Республики Коми Корткеросского района Республики Коми Мишариной Альбиной Геннадьевной Мишариной Альбиной Геннадьевной

Содержание Схема исследования функций Постоянная функция (у = с) Линейная функция (у = kх+в) Квадратичная функция (у =k·х²) Функция обратной пропорциональности ( у = k/х) Функция корня (у = х) Функция модуля (у = |х|) Функция (у = ах² + вх + с) Другие функции

Схема исследования функций Область определения D(f). Множество значений Е(f) Нули функции ( у=0) Интервалы знакопостоянства (у>0 ; у <0) Промежутки монотонности (возрастания, убывания) Набольшее и наименьшее значения функции Ограниченность функции Непрерывность функции Выпуклость функции Четность функции

СВОЙСТВА: 1) D(f)= 2) Е(f)= 3) Нули функции: у=0 при х= 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є у < 0 при х Є 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є У убывает при х Є 6) У наиб.= У наим. = 7) Ограниченность функции: 8) Непрерывность функции: 9) Выпуклость функции: 10) Четность функции:

Постоянная функция У=С у =С СВОЙСТВА: 1) D(f)=R 2) Е(f)= множество, состоящее из единственного числа С 3) Нули функции: у=0 при х= 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є у < 0 при х Є 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є У убывает при х Є 6) У наиб.= У наим. = 7) Ограниченность функции: не определена 8) Непрерывность функции: непрерывна 9) Выпуклость функции: 10) Четность функции: четная 0 х у С

Графиком функции является прямая и Если к>0 Если к<0 СВОЙСТВА: 1) D(f)= R 2) Е(f)= R 3) Нули функции: у=0 при х = х 1 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є… (для каждого графика свое) у < 0 при х Є… (для каждого графика свое) 5) Промежутки монотонности: У возрастает при к > 0 У убывает при к < 0 6) У наиб.= нет У наим. = нет 7) Ограниченность функции: не ограничена 8) Непрерывность функции: непрерывна 9) Выпуклость функции: (нет смысла) 10) Четность функции: (нет смысла) у=кх+в х у в 0 х у В О х 1 х 1 х 1 х 1

у =k·х² Графиком функции является парабола с вершиной в начале координат и если к>0, если к>0, то: СВОЙСТВА: 1) D(f)= R или (- ; + ) 2) Е(f)=[0; + ) 3) Нули функции: у=0 при х=0 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є ( - ;0 )U(0; + ) 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є [0; + ) У убывает при х Є (- ; 0 ] 6) У наиб. - нет У наим. = 0 7) Ограниченность функции: ограничена снизу 8) Непрерывность функции: непрерывна 9) Выпуклость функции: выпукла вниз 10) Четность функции: четная 0Х У У=КХ²

у =k·х² Графиком функции является парабола с вершиной в начале координат и если к < 0, если к < 0, то:СВОЙСТВА: 1) D(f)= R или (- ; + ) 2) Е(f)=( - ;0 ] 3) Нули функции: у=0 при х=0 4) Интервалы знакопостоянства: у < 0 при х Є ( - ;0 )U(0; + ) 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є (- ; 0 ] У убывает при х Є [0; + ) 6) У наиб.= 0 У наим. – не сущ. 7) Ограниченность функции: ограничена сверху 8) Непрерывность функции: непрерывна 9) Выпуклость функции: выпукла вверх 10) Четность функции: четная 0 Х У У=КХ²

у = k/х Графиком функции является гипербола если к>0, и если к>0, то :СВОЙСТВА: 1) D(f)= (- ;0)U(0;+ ) 2) Е(f)= (- ;0)U(0;+ ) 3) Нули функции: нет 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є (0;+ ) у < 0 при х Є (- ;0) 5) Промежутки монотонности: У убывает при х Є (- ;0) и (0;+ ) 6) У наиб.= не сущ. У наим. = не сущ. 7) Ограниченность функции: не ограничена ни снизу, ни сверху 8) Непрерывность функции: непрерывна на открытом луче (- ;0), и на открытом луче (0;+ ) 9) Выпуклость функции: выпукла вниз при x>0, выпукла вверх при x<0 10) Четность функции: нечётная Х у 0 У=К/Х

у = k/х Графиком функции является гипербола если к<0, и если к<0, то: СВОЙСТВА: 1) D(f)= (- ;0)U(0;+ ) 2) Е(f)= (- ;0)U(0;+ ) 3) Нули функции: не сущ. 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є (- ;0) у < 0 при х Є (0;+ ) 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є(- ;0), и (0;+ ) 6) У наиб.= не сущ. У наим. = не сущ. 7) Ограниченность функции: Не ограничена ни снизу, ни сверху 8) Непрерывность функции: Непрерывна на открытом луче (- ;0), и на открытом луче (0;+ ) 9) Выпуклость функции: Выпукла вверх при x>0, выпукла вниз при x<0 10) Четность функции: нечетная Х У 0 У=К/Х

у = х графиком функции является ветвь параболы в первой четверти СВОЙСТВА: 1) D(f)= [0;+ ) 2) Е(f)= [0;+ ) 3) Нули функции: у=0 при х=0 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є (0;+ ) у < 0 при х Є - не существует 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є [0;+ ) У убывает при х Є – не существует 6) У наиб.= не сущ. У наим. = 0 7) Ограниченность функции: Ограничена снизу, не ограничена сверху 8) Непрерывность функции: непрерывна 9) Выпуклость функции: Выпукла вверх 10) Четность функции: Не является ни четной, ни нечетной Х У У=Х

Графиком функции является объединение двух лучей: у=х, х 0 и у=-х, х 0. СВОЙСТВА: 1) D(f)= (- ;+ ) 2) Е(f)= [0;+ ) 3) Нули функции: у=0 при х=0 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є (- ; 0)U(0;+ ) у < 0 при х Є – не существует 5) Промежутки монотонности: У возрастает на луче [0;+ ) У убывает на луче (- ;0], 6) У наиб.= не сущ. У наим. = 0 7) Ограниченность функции: Ограничена снизу, не ограничена сверху 8) Непрерывность функции: Непрерывна 9) Выпуклость функции: можно считать выпуклой вниз 10) Четность функции: Чётная y = |x|y = |x| Х У 0 У =|х|

Функция у = ах² + вх + с Графиком функции является парабола с вершиной в точке (х 0; у 0) и если а>0, то: СВОЙСТВА: 1) D(f)= (- ;+ ) 2) Е(f)= [y 0 ;+ ) 3) Нули функции: у=0 при х=х 1 и х=х 2 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є (- ; х 1 ) U (х 2 ;+ ) у < 0 при х Є (х 1 ; х 2 ) 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є [х 0 ; + ) У убывает при х Є (- ; х 0 ] 6) У наиб.= не сущ. У наим. = у 0 7) Ограниченность функции: ограничена снизу и не ограничена сверху 8) Непрерывность функции: непрерывна 9) Выпуклость функции: Выпукла вниз 10) Четность функции: не определена Х у 0 Х 0 =-в/2 а у 0 у 0 У = ах²+вх+с Х1Х1 Х2Х2

Функция у = ах² + вх + с Графиком функции является парабола с вершиной в точке (х 0; у 0) и если а<0, то: СВОЙСТВА: 1) D(f)= (- ;+ ) 2) Е(f)= (- ; y0] 3) Нули функции: у=0 при х=х 1 и х=х 2 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є (х 1; х 2) у < 0 при х Є (- ; х 1) U (х 2;+ ) 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є (- ; х 0 ] У убывает при х Є [х 0; + ) 6) У наиб.= у 0 У наим. = не сущ. 7) Ограниченность функции: Ограничена сверху, не ограничена снизу 8) Непрерывность функции: непрерывна 9) Выпуклость функции: выпукла вверх 10) Четность функции: не определена Х у 0 у 0 у 0 Х0Х0 У = ах²+вх+с Х 1 Х2Х2

Функция у = - х графиком функции является ветвь параболы. СВОЙСТВА: 1) D(f)= 2) Е(f)= 3) Нули функции: у=0 при х= 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є у < 0 при х Є 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є У убывает при х Є 6) У наиб.= У наим. = 7) Ограниченность функции: 8) Непрерывность функции: 9) Выпуклость функции: 10) Четность функции: у Х

Функция у = - |х| Графиком функции является объединение двух лучейСВОЙСТВА: 1) D(f)= 2) Е(f)= 3) Нули функции: у=0 при х= 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є у < 0 при х Є 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є У убывает при х Є 6) У наиб.= У наим. = 7) Ограниченность функции: 8) Непрерывность функции: 9) Выпуклость функции: 10) Четность функции: Х у 0 У = -|х|

Прочитать график функции- это значит перечислить свойства функции 1) D(f)= 2) Е(f)= 3) Нули функции: у=0 при х= 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є у < 0 при х Є 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є У убывает при х Є 6) У наиб.= У наим. = 7) Ограниченность функции: 8) Непрерывность функции: 9) Выпуклость функции: 10) Четность функции: 0 х у -4 3

Прочитать график функции- это значит перечислить свойства функции 1) D(f)= 2) Е(f)= 3) Нули функции: у=0 при х= 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є у < 0 при х Є 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є У убывает при х Є 6) У наиб.= У наим. = 7) Ограниченность функции: 8) Непрерывность функции: 9) Выпуклость функции: 10) Четность функции: у х 1 1

Прочитать график функции- это значит перечислить свойства функции 1) D(f)= 2) Е(f)= 3) Нули функции: у=0 при х= 4) Интервалы знакопостоянства: у > 0 при х Є у < 0 при х Є 5) Промежутки монотонности: У возрастает при х Є У убывает при х Є 6) У наиб.= У наим. = 7) Ограниченность функции: 8) Непрерывность функции: 9) Выпуклость функции: 10) Четность функции: 1 1 х у

Использованные ресурсы А.Г. Мордкович, Алгебра 9 класс, М., Мнемозина, 2007 А.Н. Рурукин и др., Поурочные разработки по алгебре 9 класс, М., Вако, 2011