Стереометрическая задача на ЕГЭ(задача С2) Автор: учащийся 11 класса МБОУ «Матвеевская СОШ» Половинкин Никита Руководитель: учитель математики Половинкина Г.Ю.

1. Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0 В этом уравнении плоскости коэффициенты – координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости имеет вид Числа a, b, c находим из системы уравнений

Например: Написать уравнение плоскости, проходящей через точки - уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Угол между плоскостями Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла. Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла:

Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла. Пусть плоскости и заданы уравнениями: Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле: В ответе мы записываем, так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

Расстояние от точки М(x 0 ;y 0 ;z 0 )до плоскости ax + by + cz + d = 0. Например:

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую, параллельно первой. b c A B

Единичный куб. х у z D (0; 0; 0) A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) B (1; 1; 0) D 1 (0; 0; 1) A 1 (1; 0; 1) C 1 (0; 1; 1) B 1 (1; 1; 1)

Прямоугольный параллелепипед. х у z D (0; 0; 0) A (a; 0; 0) C (0; b; 0) B (a; b; 0) D 1 (0; 0; c) A 1 (a; 0; c) C 1 (0; b; c) B 1 (a; b; c) a b c

Правильная шестиугольная призма. х у C F D E B A a a C (a; 0;0) F (- a; 0;0) х у z C 1 (a; 0;c) F 1 (- a; 0;c) a c

Правильная треугольная призма. С1С1 А В С А1А1 В1В1 c a х у z O

Правильная треугольная пирамида. х y O z H h

Правильная четырехугольная пирамида. a h х y z h

Правильная треугольная пирамида. х y O z H h

Правильная четырехугольная пирамида. a h х y z h

Правильная шестиугольная пирамида. х y z a h C (a; 0;0) F (- a; 0;0)

Задача В правильной четырехугольной призме со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре взята точка М так, что AM=8. На ребре взята точка K так, что. Найдите угол между плоскостью и плоскостью.

Решение. Запишем координаты точек: М(0;0;13),К(12;0;8), Подставим их в систему уравнений: Отсюда: С= -1/13, В= -1/12, А= -5/(12 х 13). Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

Подставим их в формулу для нахождения косинуса угла между плоскостями, и найдем угол:

Задача. В единичном кубе АВСDA 1 В 1 С 1 D 1 найдите угол между плоскостями АD 1 Е и D 1 FC, где точки Е и F-середины ребер А 1 В 1 и В 1 С 1 соответственно. Решение. Введём прямоугольную систему координат. Тогда А(0;0;0), С(1;1;0), D 1 (1;0;1), E(0;0,5;1), F(0,5;1;1). 1)Решая систему составляем уравнение плоскости (АD 1 E): x+2y-z=0. 2) плоскость CFD 1 : отсюда находим уравнение 2x+y+z-3=0. Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей.,, откуда φ=60˚ Ответ: 60˚

Задача. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА 1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА 1 =2:3. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD 1. Решение. Введем прямоугольную систему координат. Тогда В(1;0;0), Е(0;0;2), D 1 (0;1;5). Решаем систему Составляем уравнение плоскости ( ВЕD 1 ): -х+1,5 у-0,5z+1=0, вектор нормали плоскости ( ВЕD 1 ) Вектор нормали плоскости ( ABC) Найдем искомый угол как угол между нормалями плоскостей Ответ:

Задача. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром 1. Точка М-середина ребра АВ, точка К – середина ребра DD 1. Найти угол между плоскостями АКВ 1 и КМС. РЕШЕНИЕ. Введем прямоугольную систему координат, поместив начало координат в точку А. Составим уравнение плоскости АКВ 1. Точка А (0;0;0) принадлежит этой плоскости, то d=0. Подставим координаты точек К(0;1; 0,5) и В 1 (1;0;1) в уравнение плоскости, получим b+c/2=0, a+c=0. Таким образом имеем 2 х+у - 2z=0. Составим уравнение плоскости КМС. Подставим координаты точек К(0;1; 0,5) и М (0,5;0;0), С(1;1;0) в уравнение плоскости, получим систему: Уравнение плоскости (КМС) принимает вид и угол между плоскостями АВК 1 и КМС находим из 2 х – у +4z=1. Итак,