Преобразование графиков функций Преобразование графиков функций Тригонометрическая функция Тригонометрическая функция Показательная функция Показательная функция Логарифмическая функция Логарифмическая функция выход Функция, её свойства Функция, её свойства МБ ОУ Ризоватовская СШ

Функция, её свойства

Пусть даны две переменные х и у : если каждому значению х соответствует единственное значение у, то такая зависимость называется функцией и обозначается y = f(x) х – независимая переменная (аргумент) у – зависимая переменная (функция)

Функция может быть задана 3 способами: аналитически (формулой) табличнох у 1/81/41/21248 графически х у 0 х у 0 х у 0

Графиком функции называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию задания функции х у 0 у = f(x)

Область определения функции D(y) – все допустимые значения независимой переменной (аргумента) Область значения функции E(y) – все допустимые значения зависимой переменной (функции) х у 0 у = f(x) D(y)D(y)D(y)D(y) E(y)E(y)E(y)E(y)

Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция называется возрастающей: b > a, f(b) > f(a) Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция называется убывающей: a f(b) х у 0 a b f(a) f(b) х у 0 a b f(a) f(b)

Укажите, какие из представленных функций возрастают, а какие убывают? ЗАДАНИЕ х у 0 1 х у 0 2 х у 0 3 х у 0 4 возрастающая убывающая возрастающая

Укажите: 1) D(у) и Е(у); 2) промежутки возрастания и убывания; 3) четность функции; 4) нули функции (если есть). ЗАДАНИЕ 1) D(y) = [-6;5]; Е(y) = [-3; 4]; 2) f(x) на [-3; 2]; f(x) на [-6; -3] и [2; 5]; 3) ни четная, ни нечетная; 4) у = 0 при х = -5; 0; 4. х у х у ) D(y) = R; Е(y) = [-3; 3]; 2) f(x) на [-1; 1]; f(x) на (-; -1] и [1; +); 3) функция нечетная; 4) у = 0 при х = 0.

Область определения Область значений Четность Возрастание Нечетность График Нули функции Убывание

Преобразование графиков функций

ТЕОРЕМА 1 График функции у = f(х-а) получается из графика функции у = f(х) путем сдвига последнего на а единиц: х у 0 вправо, если а > 0; влево, если а < 0. а а y = f(х)

ТЕОРЕМА 2 График функции у = f(х)+а получается из графика функции у = f(х) путем сдвига последнего на а единиц: х у 0 вверх, если а > 0; вниз, если а < 0. а а y = f(х)

ТЕОРЕМА 3 График функции у = f(х-a)+b получается на основе теорем 1 и 2 х у 0 y = f(х) y = f(х)+b y = f(х-a)+b

ТЕОРЕМА 4 График функции у = f(ах)+а получается из графика функции у = f(х) путем : х у 0 сжатия относительно оси абсцисс, если а > 1; растяжения относительно оси абсцисс, если 0 < а < 1. y = sin x y = sin ½xy = sin 2x

ТЕОРЕМА 5 График функции у = Af(х) получается из графика функции у = f(х) путем: х у 0 растяжения вдоль оси ординат, если А > 0; сжатия вдоль оси ординат, если 0 < A < 1. y = f(х) y = 2f(х) y = ½ f(х)

ТЕОРЕМА 6 График функции у = - f(х) получается из графика функции у = f(х) путем симметричного отображения последнего относительно оси абсцисс. х у 0 y = f(х) y = - f(х)

х у 0 y = f(х) ТЕОРЕМА 7 График функции у = f(-х) получается из графика функции у = f(х) путем симметричного отображения последнего относительно оси ординат. y = f(-х)

х у 0 y = f(х) ТЕОРЕМА 8 График функции у = |f(х)| получается из графика функции у = f(х) следующим образом: та часть графика, которая лежит над осью абсцисс, остается без изменения, а та часть графика, которая лежит под осью абсцисс, отображается симметрично относительно оси абсцисс y = |f(х)|

ТЕОРЕМА 9 График функции у = f(|х|) получается из графика функции у = f(х) следующим образом: та часть графика, которая находится справа от оси ординат остается без изменения, а та часть графика функции, которая находится слева от оси ординат, отбрасывается. х у 0 y = f(х) y = f(|х|)

ТЕОРЕМА 10 График функции у = |f(|х|)| получается из графика функции у = f(х) на основании теорем 8 и 9. х у 0 y = f(х) y = |f(х)| y = |f(|х|)|

Показательнаяфункция

Функция вида у = а x (a>0) называется показательной. Показательная функция бывает двух видов в зависимости от основания. Пусть а > 1 а = 2, у = 2 х 1) D(у) = (- ; +); 2) Е(у) = (0; +); 4) Функция возрастает на D(у); 5) При х = 0, у = 1 – особая точка! 6) При у = 0, х – не существует, следователь- но график функции не пересекает ось Ох 7) х у 1/81/41/ ), следовательно функция не обладает свойством четности; х у у = 2 х

Функция вида у = а x (a>0) называется показательной. Показательная функция бывает двух видов в зависимости от основания. Пусть 0 < а < 1 1) D(у) = (- ; +); 2) Е(у) = (0; +); 4) Функция убывает на D(у); 5) При х = 0, у = 1 – особая точка! 6) При у = 0, х – не существует, следователь- но график функции не пересекает ось Ох 7) х у 84211/21/41/8 3), следовательно функция не обладает свойством четности; х у

a > 1 х х х в общем случае 0 < a < 1

Логарифмическаяфункция

Функция вида у = log a x (a>0, a1) называется логарифмической. Логарифмическая функция бывает двух видов в зависимости от основания. Пусть а > 1. а = 2, у = log 2 х 1) D(у) = (0; +); 2) Е(у) = (-; +); 3) log 2 (-х) не существует, следовательно функция не обладает свойством четности; 4) Функция возрастает на D(у); 5) При х = 0, у - не существует, следователь- но график функции не пересекает ось Оу ; 6) При у = 0, х = 1 – особая точка! 7) х 1/81/41/21248 у х у у = log 2 х

Функция вида у = log a x (a>0, a1) называется логарифмической. Логарифмическая функция бывает двух видов в зависимости от основания. Пусть 0 < а < 1 1) D(у) = (0; +); 2) Е(у) = (-; +); 4) Функция убывает на D(у); 5) При х = 0, у - не существует, следователь- но график функции не пересекает ось Оу ; 6) При у = 0, х = 1 – особая точка! 7) х 1/81/41/21248 у х у ) не существует, следовательно функция не обладает свойством четности;

a > 1 в общем случае 0 < a < 1 х y х y х y

Тригонометрическиефункции

y = sin x х у π2π2π3π3π -π-π 1 ку 00 1 ку π0 1) D(у) = R; 2) E(у) = [-1; 1], т.е. синус – ограниченная функция; 3) sin x = - sin x, т.е. синус – нечетная функция; 4) у = sin x – периодическая функция, T = 2π ; 5) у = 0 при x = πn, n Z ; 6) у = sin x – непрерывная функция; 7) Промежутки возрастания: ; 8) Промежутки убывания: ; 9) у min = -1 при ; 10) у max = 1 при.

y = cos x х у π2π2π3π3π -π-π 1 ку 01 0 ку π 0 1) D(у) = R; 2) E(у) = [-1; 1], т.е. косинус – ограниченная функция; 3) cos x = cos(-x), т.е. косинус – четная функция; 4) у = cos x – периодическая функция, T = 2π ; 5) у = 0 при ; 6) у = cos x – непрерывная функция; 7) Промежутки убывания: ; 8) Промежутки возрастания: ; 9) у min = -1 при ; 10) у max = 1 при.

y = tg x х 0 у ) E(у) = [-1; 1], т.е. тангенс – неограниченная функция; 3) tg (-x) = - tg x, т.е. тангенс – нечетная функция; 4) у = tg x – периодическая функция, T = π ; 6) у = tg x – непрерывная функция на D(y) ; 8) Асимптоты функции: х у π 1 -π-π 1) D(у) = R, кроме ; 5) у = 0 при x = πn, ; 7) Промежутки возрастания:

х у π 1 -π-π 0 y = сtg x х 0 у ) E(у) = [-1; 1], т.е. котангенс – неограниченная функция; 3) сtg (-x) = - tg x, т.е.котангенс – нечетная функция; 4) у = сtg x – периодическая функция, T = π ; 6) у = tg x – непрерывная функция на D(y) ; 8) Асимптоты функции: 1) D(у) = R, кроме ; 5) у = 0 при ; 7) Промежутки убывания: