Полезно знать, что Если даны три последовательных члена арифметической прогрессии (а n - 1, а n, а n + 1 ), то удвоенный средний член равен сумме крайних членов

Полезно знать, что Если даны три последовательных члена геометрической прогрессии (b n - 1, b n, b n + 1 ), по квадрат среднего члена равен произведению крайних членов

C6 Целые числа x; y; z образуют геометрическую прогрессию, а числа 5 х + 3; у 2 ; 3z + 5 – арифметическую прогрессию (в указанных порядках). Найти x; y; z. Решение. у 2 = xz (xz 0), у 2 = 0,5(5 х z + 5). Исключая из системы у 2, получаем уравнение xz = 0,5(5 х z + 5); 2xz = 5 х z + 5; 2xz - 3z = 5 х + 8; 2z(х – 3 / 2) = 5 х + 16 / 2; 2z(х – 3 / 2) = 5 х + 31 / 2 – 15 / 2; 2z(х – 3 / 2) = 5 (х – 3 / 2) + 31 / 2; Разделим уравнение на (х – 3 / 2) 0

2z = / (2 х – 3). По условию x; y; z – целые числа, тогда 31 / (2 х – 3) – целое число; 31 - простое число, делится нацело на ± 31 или на ± 1 а, значит, 2 х – 3 = ± 31 или 2 х – 3 = ± 1 Решая четыре уравнения, получаем значения х = 17; - 14; 2; 1. Подставляя полученные числа в равенство 2z = / (2 х – 3), получаем значения z = 3; 1; 18; Условие xz 0 не выполняется для двух пар -14; 1 и 1; -13 Произведение 17 3 не является квадратом целого числа Произведение 2 18 = 36 является квадратом целого числа Значит, y = ± 6 Получаем две тройки чисел (2; - 6; 18) и (2; 6; 18)