Решение задач типа С1

Задания типа С1 – это задания с развернутым ответом повышенного уровня сложности. Задания подобного типа представляют собой уравнение или систему уравнений. Правильное решение оценивается в 2 балла. При решении задания следует помнить, что важно не только правильно решить, но и грамотно оформить свое решение!

Решите уравнение Тригонометрические уравнения Решение: ОДЗ: cosx 0; 3tgx 0, tgx 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равно нулю. От данного уравнения перейдем к системе уравнений: (sin2x + cosx)=0 (1) + =0 (2)

Решим уравнение (1): sin2x + cosx=0 2sinxcosx + cosx=0 cosx(2sinx + 1)=0 cosx=0 2sinx + 1=0 Уравнение cosx=0 не удовлетворяет ОДЗ. 2sinx + 1=0 2sinx=-1 Sinx= – 1 / 2 тогда x = + 2 пn, n Z, х = +2 пк, k Z Решим уравнение (2): + =0 Возведем обе части уравнения во вторую степень. Получаем: 3 + 3tgx=0 tgx= – 1, данное уравнение не удовлетворяет ОДЗ.

Перенесем полученные значения на тригонометрический круг: Обозначим те области, где тангенс больше нуля жирными линиями, выколотыми точками отметим значения cosx=0. Отметим полученных в ходе решения значения x. Только х = удовлетворяет ОДЗ Ответ: x = + 2 пк, k Z

Решите уравнение Решение: ОДЗ: sinx 0; ctgx 0 Перейдем от данного уравнения к равносильной системе: 3cos2x + 5cosx – 1=0, (1) ctgx < 0; (2) Решим уравнение (1): 6cos 2 x + 5 cosx – 1=0 Пусть cosx = t, t [-1;1], тогда уравнение принимает вид 6t 2 + 5t – 1=0 Решим полученное квадратное уравнение: 6t 2 + 5t – 1=0 t = 1 / 2 t = - 4 / 3 – не удовлетворяет условию t [-1;1]

cosx = 1 / 2 x = Перенесем на тригонометрический круг полученные корни и обозначим промежутки, где котангенс меньше нуля. Условию ctgx < 0 удовлетворяет только х = Ответ: х = п 0