Доклад п о п о теме: « Преобразования пространства». Автор: Курдюков Василий, 11 «м» класс. Руководитель: Соловьёва Анна Христиановна. Вид работы – проблемно-реферативный.

Основные ц ели. Кратко рассказать о преобразованиях пространства: пояснить термины, свойства. Доказать эффективность использования преобразований при решении различных задач. Рассказать о сферах применения. Акцентировать внимание на недостаточности использования этого метода.

Основные понятия и свойства. Преобразование пространства – биективное (взаимно- однозначное) отображение пространства на себя. Точка M называется образом точки M при отображении g, а точка M – прообразом точки M при том же отображении g. Движение пространства – преобразование пространства, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками. Движения бывают первого и второго рода. Кроме движений есть и другие преобразования пространства. Это гомотетия и подобие.

Основные виды движений. Центральная симметрия (Z O ). Осевая симметрия (S l ). Зеркальная симметрия (S ). Поворот вокруг оси (R l ). Параллельный перенос (M=с(M) ). Теорема: всякое движение пространства есть композиция не более четырёх симметрий относительно плоскости.

Гомотетия и подобие. Композицией двух гомотетий с общим центром O и коэффициентами k 1 и k 2 является гомотетия с центром O и коэффициентом k 1 *k 2. Композиция двух подобий с коэффициентами k 1 и k 2 есть подобие с коэффициентом k 1 *k 2. Гомотетия (H k o ). O Подобие (P k ).

Задача н а н а построение. Даны угол и внутри него точка. Построить прямую, проходящую через эту точку так, что её отрезок, заключённый внутри этого угла делится в отношении m/n.m/n. m n mn B A M b a KO N C B A

Задача на нахождение местоположения при условии наименьшей величины. Точка M не принадлежит данным пересекающимся плоскостям и. Найти в плоскости точку A, а в плоскости точку B такие, чтобы треугольник ABM имел наименьший периметр. M B A B1B1 A1A1 A B

Восстановление фигуры. Восстановить пятиугольник, зная точки М 1, М 2, М 3, М 4, М5,М5, являющиеся серединами последовательных его сторон. М2М2 М1М1 М5М5 М4М4 М3М3 A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 E1E1 F1F1 A B C D E A B C D E

Задача про игру. Два игрока кладут по очереди металлические рубли на круглый стол так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не сможет положить рубля. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача на на центр центр масс. Найти центр масс равномерной пластинки, изображённой на рисунке (все углы прямые). A BC D E F K L O1O1 O O4O4 O2O2 O3O3

Задача на на тему электрического электрического поля. На расстоянии d от большой проводящей пластины находится точечный электрический заряд +q. С какой силой действует на него пластина?

Где можно встретить преобразования пространства ещё. Техника (например, уголковые отражатели). Искусство. Геометрическая кристаллография. Природа (симметрии встречаются у большинства организмов).

Вывод. Преобразования пространства, на мой взгляд, - важная математическая модель, позволяющая решать самые разнообразные задачи (не только геометрические), доказывать различные теоремы. Среди тех задач, которые я изучал в ходе работы, есть задача на доказательство простейших свойств, свойств равенства фигур, это ещё раз доказывает универсальность метода преобразований: он годится даже для доказательства чего-то фундаментального, того, на чём строится геометрия. Без преобразований пространства геометрия не могла бы существовать. В самом деле, уже сравнение отрезков и измерение длин основано на движении предметов, когда один прикладывается к другому.