Тригонометрические уравнения и неравенства Обобщающий урок Алгебра-10 Шабанова Галина Николаевна, учитель математики МОУ «Егорьевская СОШ» Егорьевский район Алтайский край

2 Как работать Сегодня весь урок ты будешь работать самостоятельно. Ты сможешь обобщить и систематизировать знания по решению тригонометрических уравнений и неравенств. В ходе урока ты сможешь проверить степень своей готовности к предстоящей контрольной работе. К концу урока постарайся зафиксировать свои ошибки (сколько, какие). В дальнейшем вместе с учителем ты сможешь разобрать эти ошибки.

3 План урока Устная разминка Решение уравнений базового уровня Решение неравенств Решение уравнений повышенного уровня Дополнительное задание Подведение итогов

4 Вспомни формулы arcsin(-a) = -arcsina для любого а [-1,1] arctg(-a) = -arctga для любого а arcсtg(-a) = π-arcсtga для любого а arccos(-a) = π-arcosa для любого а [0,1]

5 Устная разминка Вычисли и запиши в столбик ответы в тетради: 1. arcsin 2. arccos 3. arctg 5. arcsin (– ) 4. arctg ( - ) 6. arccos (-1) 7 arcсоs( - ) Проверь ответы: 6) π

6 Вспомни и запиши формулы для решения уравнений 1. cos x=a, |a|1 х = 2. sinx=a, |a|1 х= 3. tgx=a х = 4. сtgx=a х = ±arccos a+2πk(-1) ·arcsina+πп аrctg a+πkarcctga+πk

7 Реши уравнения базового уровня 1) 2 соsx - = 0 2) sin2x =- 3) 2 соs(x - ) = -1 4) tg²x - 6tgх+5=0 5) (2sinx – 1)(cosх-1)=0 Проверь ответы: 1)х= ±π/6+2πk. 2)х= (-1) · (-π/6) +πn/2. 3) х= +2πk, х= - + 2πk. 4)х= π/4+πn, х=arctg5+πk. 5)х= (-1) · π/6 + πn, х= 2πk. Если неверно Если верно К слайду 9 К слайду 10

8 Решение некоторых уравнений базового уровня соs(x - ) = -1/2, 3) 2 соs(x - ) = -1, х - = ±arccos (-1/2) +2πk, х= ± +2πk, х- = ± +2πk, х= +2πk, х= - + 2πk 4)tg²x - 6tgх+5=0 Обозначим tgх=а. тогда а² -6 а+5=0 Отсюда а = 5, а = 1, tgх=5 и tgх=1 х=arсtg5 + πk,х=arctg1 + πk, х= +πk 5) (2sinx – 1)(cosх-1)=0 Подсказка: произведение равно 0, если…

9 Решение неравенств Реши неравенства: 1) cos х > 2) sin х 0 3) cos х < - 1/2 4) sins > Проверь ответы: Если неверно Если верно К слайду 11 К слайду 12 1)-π/6 +2πk <х< π/6 +2πk 2) 2πkхπ+2πk 3) 2π/3+2πk < х < 4π/3 +2πk 4) π/4+2πk < х < 3π/4+2πk

10 Проверь решения неравенств º º 1)cos х > у х 2) sin х 0 у х -π/6 +2πk <х< π/6 +2πk · - π/6 π/6 · · оπ 2πkхπ+2πk2πkхπ+2πk 3) cos х < - 1/2 у х у х · -½-½ 2 π/3 · · 4π/3 2π/3+2πk < х < 4π/3 +2πk 4) s inf > · º º π/4+2πk < х < 3π/4+ 2 πk

11 Реши уравнения повышенного уровня 1. sin5 х = cos5 х 2. sin²х+cos(π/2-х)sin(π/2-х)-2cos²х=0 3. tg(2π+х)+2tg(π/2+х)= -1 Проверь ответы: 1. х = + 2. х= +πk, х= -arctg2+πk 3. х= +πk, х= -arctg2+πk Если неверно Если верно К слайду 13 К слайду 14

12 Решение уравнений повышенного уровня 1. sin5 х=cos5 х ( однородное 1-й степени ) Разделим обе части на cos5 х. Получим: tg5x=1, 5 х=arctg1+πk, 5 х= π/4+πk, х = + 2. sin²х+cos(π/2-х)sin(π/2-х)-2cos²х=0 (однородное 2-й степени). Упростим левую часть по формулам приведения: sin²х+sins ·cosх -2cos²х=0. Разделим обе части на соs²x: tg²x+tgx -2=0, отсюда: tgx=1 и tgx=-2 х= +πk, х= -arctg2+πk 3. tg(2π+х)+2tg(π/2+х)= -1, tgх- 2/tgх = -1. Умножим обе части на tgх, при условии tgx0.Получим: tg²x-2=-tgx, tg²x+tgx-2=0, отсюда: tgx =1, tgx=-2. х= +πk, х=-acrctg2+πk

13 Дополнительно 1. Реши уравнение: 2sin( -х)= и найди: а) наименьший положительный корень; б) корни, принадлежащие промежутку [0,π] 2. Реши уравнение: sin²2x-3=2sin2 хcos2x

14 Подведение итогов Итак, мы закончили изучение очень важной темы « Тригонометрические уравнения и неравенства». К этой теме мы вернёмся при изучении следующей главы «Преобразование тригонометрических выражений». Сегодня на уроке повторили общие формулы решений простейших тригонометрических уравнений, а также частные формулы. На уроке также были рассмотрены основные виды и способы решения тригонометрических уравнений: разложение на множители; замена переменной; однородные тригонометрические уравнения 1-й и 2-й степени. Если было что-то непонятно, обратись к учителю.

15 Источники информации А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 класс. Задачник.