Понятие правильного многогранника

Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона ( до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами (хотя известны они были задолго до Платона). Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя "земными" элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с "неземным" элементом - небом (додекаэдр).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. многогранник называется правильным, если существуют три концентрические сферы, одна из которых касается всех граней многогранника, другая касается всех его ребер и третья содержит все его вершины.

Если правильные многоугольники существуют с любым числом сторон n3, то правильных многогранников всего пять и число граней у них равно 4, 6, 8, 12 или 20. И не существует правильного многогранника, состоящего из правильного n- угольника, при n>=6 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Угол правильного n-угольника при n>=6 не меньше 180(n-2)/n => 180(6-2)/6=180*4/6=120 градусов. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при n>=6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем 120*3=360 градусов. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360 градусов.

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180° ( рис.11 ) Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240° (рис.12)

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300° (рис.13) Куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270° (рис.14)

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324° (рис.15) Других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет.

ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ

Фигура Центр симметрии Ось симметрии Плоскость симметрии Тетраэдр Куб Точка пересечения диагоналей нет середины 2-х противоположных ребер (3 штуки) центры противоположных граней и середины противоположных ребер(9 штук) плоскость, проходящая через ребро и перпендикулярно противолежащему ребру(6 штук) плоскость, проходящая через любые 2 оси симметрии(9 штук)

Правильный октаэдр (рис.12), правильный икосаэдр (рис.13) и правильный додекаэдр (рис.15) имеют центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии.