Тема урока: Определение арифметической прогрессии. Формула п- го члена арифметической прогрессии.

Устная работа: 1. Последовательность у п задана формулой п- го члена у п = 5 п + 1. Найти У1, У4, У20, У Найти второй, пятый члены последовательности (а п ), заданной формулой: а) а п = 2 п – 1; б) а п = п – 2 2 в) а п = п² – 3; 3. Последовательность задана формулой: а п = п. Найти номер члена последовательности, равного 6; 0; -3; Найти среднее арифметическое чисел 2 и 10; 3 и -5; 2, 3 и 7.

Прогрессии. Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия.

Выпишем последовательность, соответствующую условию задачи: Джентльмен получил наследство. В первый месяц он истратил 100 долларов, а каждый следующий месяц он тратил на 50 долларов больше, чем в предыдущий. Сколько долларов он истратил за второй? За третий? За восьмой? За десятый? последовательность: 100; 150; 200; 450; 550 Как получается второй член последовательности? третий? четвертый? и т.д.

Мастерская изготовила в январе 106 изделий, а каждый следующий месяц изготовляла на 12 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила мастерская в феврале? В марте? В августе? В декабре? последовательности: 106; 118; 130; 190; 238 Как получается второй член последовательности? третий? четвертый? и т.д.

Тело в первую секунду движения прошло 27 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м меньше, чем за предыдущую. Какое расстояние прошло за вторую, третью, восьмую, десятую секунду? последовательности: 27; 24; 21; 3; -3 Как получается второй член последовательности? третий? четвертый? и т.д.

Выписанные последовательности называются арифметическими прогрессиями.

Определение: Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. То есть, последовательность (а п ) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального п выполняется условие а п + 1 = а п + d, где d – некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т.е. при любом натуральном п верно равенство а п а п = d. Число d называют разностью арифметической прогрессии. Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность.

Примеры: 1. Если а 1 = 1 и d = 1, то получим арифметическую прогрессию: 1; 2; 3; 4; 5; … 2. Если а 1 = 1 и d = 2, то получим арифметическую прогрессию: 1; 3; 5; 7; 9; … 3. Если а 1 = -2 и d = -2, то получим арифметическую прогрессию: -2; -4; -6; -8; - 10; … 4. Если а 1 = 7 и d = 0, то получим арифметическую прогрессию: 7; 7; 7; 7; 7; …

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т.д. члены. Но для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен.

По определению арифметической прогрессии а 2 = а 1 + d, а 3 = а 2 + d = (а 1 + d) + d = а d, а 4 = а 3 + d = (а 1 + 2d) + d = а d, а 5 = а 4 + d = (а 1 + 3d) + d = а d, а 6 = а d, Чтобы найти а п нужно к а 1 прибавить d( п – 1), т.е. а п = а 1 + d( п – 1) - формула п- го члена арифметической прогрессии

Примеры:

Отметим важное свойство арифметической прогрессии Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов

формулу п- го члена арифметической прогрессии а п = а 1 + d( п – 1), можно записать иначе: а п = d п + (а 1 – d), отсюда следует, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида а п = k п + b, где k и b некоторые числа.