Простейшими логарифмическими неравенствами являются неравенства вида log a x > b или log a x 0, a 1; b R Заменяя b на log a a b, получаем неравенство вида log a x > log a a b или log a x < log a a b, где a > 0, a 1; b R Примеры: 1) log 2 x < 2, log 2 x < log ) log 0,5 x > 3, log 0,5 x > log 0,5 0,5 3

Решаются логарифмические неравенства на основании свойства монотонности логарифмической функции: для возрастающей функции (a > 1) большему значению функции соответствует большее значение аргумента (меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента) для убывающей функции (0 < a < 1) большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента (меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента)

у 01 х 01 х у a > 1 0 < a < 1, y = log a x log 2 x 1 < log 2 x 2 x 1 < x 2 возрастающая возрастающая убывающая log 0,5 x 1 < log 0,5 x 2 x 1 > x 2

Пример 1. log 2 x < 2 (знаем, что 2=log 2 4) Решение. 1) Область определения неравенства ООН: х > 0. 2) Перепишем неравенство в виде log 2 x < log 2 4 Поскольку логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, то из неравенства log 2 x < log 2 4 следует неравенство x < 4. 3) Записываем систему неравенств Ответ: (0;4) 0 4 //////////////////////////////// ////////////////////// 0 < x < 4 или х (0; 4) Решите неравенство x

Пример 2. log 0,5 x > 3 (знаем, что 3 = log 0,5 0,125) Решение. 1) Область определения неравенства (ООН): х > 0. 2) Перепишем неравенство в виде log 0,5 x > log 0,5 0,125 Поскольку логарифмическая функция с основанием 0,5 убывающая, то из неравенства log 0,5 x > log 0,5 0,125 следует неравенство x < 0,125. 3) Записываем систему неравенств Ответ: (0; 0,125) 0 0,125 //////////////////////////////// ////////////////////////// 0 < x < 0,125 или х (0; 0,125) Решите неравенство x

Пример 3. log 0,25 (x – 3) - 1 (-1=log 0,25 (1/4) - 1 =log 0,25 4) Решение. 1) Область определения неравенства ООН: х - 3 > 0; х > 3. 2) Перепишем неравенство в виде log 0,25 (x – 3) log 0,25 4 Поскольку логарифмическая функция с основанием 0,25 убывающая, то из неравенства log 0,25 (x – 3) log 0,25 4 следует неравенство x – 3 4, x 7. 3)Записываем систему неравенств Ответ: (3; 7] Откуда 3 < x 7 или х (3; 7] Решите неравенство

Пример 3. log 0,25 (x 2 + 3x) - 1 (-1=log 0,25 (1/4) - 1 =log 0,25 4) Решение. 1) Область определения неравенства (ООН): x 2 + 3x > 0; х (x + 3) > 0 ( x 1 = – 3, x 2 = 0) 2) Перепишем неравенство в виде log 0,25 (x 2 + 3x) log 0,25 4 Поскольку логарифмическая функция с основанием 0,25 убывающая, то из неравенства log 0,25 (x 2 + 3x) log 0,25 4 следует неравенство x 2 + 3x 4, x 2 + 3x ( x 1 = – 4, x 2 = 1) Решите неравенство x – + ООН: х 0 x х – 4, x 1

3)Записываем систему неравенств Ответ: х – 4, x 1 х – 4, x 1 x /////////////////////////////////////// ///////////////////////// ][

Решите неравенство 122 x Решение. 1) ООН: ( х – 2 )( 12 – х ) > 0, перепишем неравенство, вынося множитель (- 1) из второй скобки, получим -1 ( х – 2 )( х – 12 ) > 0, умножим обе части неравенства на (- 1), знак сравнения > изменяется на знак < Получаем неравенство: ___________________ и решаем его 2) Свернём левую часть неравенства по свойству логарифма произведения Правую часть неравенства запишем в виде логарифма с таким же основанием + +

Поскольку логарифмическая функция с основанием 1/3 убывающая, то из неравенства следует неравенство ________________________________ Решаем его, раскрывая скобки, перенося всё в левую часть, приводя подобные слагаемые и умножая обе части на (- 1), при этом изменяя знак сравнения на противоположный 3 x 11 3) Решаем систему неравенств Ответ: ( ; ] [ ; )

Решите неравенство Решение. 1) ООН:Учтите, что для все х R знаменатель х принимает только значения со знаком ___ Тогда область определения неравенства задаётся неравенством _________ > ______, то есть х > _____ 2) Перепишем правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 5

Поскольку логарифмическая функция с основанием 5 возрастающая, то из неравенства следует неравенство Переносим в левую часть число из правой части, приводим левую часть к общему знаменателю, правая часть равна нулю Получим неравенство знаменатель х принимает только значения со знаком ___, тогда решаем неравенство 3 х – 2 - ____ (х 2 + 1) ____ 0 Решаем его, раскрывая скобки, приводя подобные слагаемые и умножая обе части на (- 1), при этом изменяя знак сравнения на противоположный