СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ Выполнили: Петрук К. Черняк А. Чикиш Ю.

Общие сведения в теории принятия решений статистические игры являются основным подходом, если решение принимается в условиях частичной неопределенности. Статистические модели - игра двух лиц (человека и природы) с использованием человеком дополнительной статистической информации о состояниях природы. Природа не является разумным игроком Статистик имеет целью выиграть игру с воображаемым противником. основными отличиями статистической игры от стратегической являются: отсутствие стремления к выигрышу у игрока-природы; возможность второго игрока статистика провести статистический эксперимент для получения дополнительной информации, о стратегиях природы.

Общие сведения теория статистических решений является теорией: проведения статистических наблюдений, обработки этих наблюдений их использования. В статистических играх используются понятия: риск (функция риска), потери (функция потерь), решение (функция решения), функции распределения при определенных условиях. В теории статистических решений основные правила могут быть детерминированными и рандомизированными. рандомизация - это статистическая процедура, в которой решение принимается случайным образом.

B j - отдельное состояние природы, ; D - совокупность всех чистых функций решения; a - отдельное решение статистика, ; L - функция потерь. - функция решения; Введем условные обозначения: - функция условного распределения случайной переменной х, B j n - объем выборки - множество всех выборок объема n. R(B j, d) - функция риска, определенная на B*D - рандомизированная функция решения; D* - множество случайных функций решения,. G(B j ) - функция априорного распределения состояний природы B j ; - совокупность всех априорных распределений

Свойства статистических игр нерандомизированная (чистая) функция решений статистика - функция решения, отображающая множество выборок в множество решений статистика А по результатам эксперимента статистик определяет, какое решение он должен выбрать, используя функцию риска: M – знак математического ожидания L – функция потерь при состояние природы и

Свойства статистических игр – ущерб, к которому приводит принятие решений если истинное значение параметра есть - функция риска, принимается как платеж статистика в его игре с природой при следующих условиях: состояние природы фиксировано функция решений выбрана Стратегическая игра становится статистической, если используется результат эксперимента - вектор. Игра называется статистической, если в ней: - множество n-мерных выборок; - множество функций решений; - множество состояний природы;

Рандомизация функций решений два метода: 1. применение решений с определенными вероятностями (смешение решений); 2. смешение чистых функций решения, т.е. рандомизация функций решения. Распределение вероятностей на множестве D чистых функций решения d называется рандомизированной (смешанной) функцией решения статистика. смешанное расширение статистической игры с рандомизацией на стороне статистика Дальнейшее расширение статистической игры может быть достигнуто при предположении, что природа также «применяет» стратегию при «выборе» своего состояния.

Рандомизация функций решений Априорное распределение состояний природы является случайной (смешанной) стратегией природы в статистической игре, где природа не рассматривается как разумный игрок. Если случайная величина с априорным распределением, то риск становится случайной переменной при фиксированной функции решения. В данном случае математическое ожидание риска при априорном распределении задаваемом функцией распределения, определяется как

Байесовская функция решения Если в качестве оптимальной принимается байесовская функция решения, то используется формула Игра со смешанным расширением статистической игры с рандомизацией на стороне статистика и на стороне природы называется полностью расширенной статистической игрой. ее составляющие: - множество всех априорных распределений, состояний природы или множество ее смешанных стратегий; - множество всех случайных функций решения; - байесовский риск.

схема расширения статистической игры Исходная стратегическая игра Статистическая игра Рандомизация состояний природы Расширенная статистическая игра Рандомизация функций решений Расширенная статистическая игра Рандомизация состояний природы Полностью расширенная статистическая игра

Сравнительная таблица Игра двух лиц с нулевой суммой X, YЗадача статистических решений Игра (X, Y, W) игрока 1 с игроком 2Статистическая игра природы и статистика - чистые стратегии игроков 1 и 2 состояние природы, статистическая функция решения Платеж W(x, у) игрока 2 игроку 1 - риск статистика Смешанная стратегия игрока 1Априорное распределение состояний природы Смешанная стратегия игрока 2Случайная функция решения Смешанное расширение игры:Полностью расширенная статистическая игра Максиминная стратегия игрока 1Наименее благоприятное априорное распределение, Минимаксная стратегия игрока 2Минимаксная функция решения

Выбор функций решения Для всех состояний природы не существует одной наилучшей функции решения. От статистика требуется применение таких методов, которые дают оптимальные функции решения в более узком диапазоне. Для этого необходимо использовать критерии оптимальности для каждого состояния природы имеется своя лучшая функция Пусть различные функции решения будет лучшей в диапазоне состояний природы будет лучшей для состояния природы при и при Функция называется допустимой, если в байесовские функции решения входят в класс допустимых функций Опр. Функция решения называется байесовской относительно априорного распределения состояний природы, если она минимизирует байесовский риск на множестве D*.

Если то Выбор функций решения Если событие А может наступить наступило одно из событий, образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события А равна Формула Байеса используется тогда, когда событие А произошло, и требуется произвести количественную переоценку вероятностей событий При этом известны вероятности до опыта. Требуется определить вероятности после опыта Вероятность совместного наступления событий А с любым из этих событий Bj по теореме умножения равна:

Принцип Байеса Лапласа Данный принцип отступает от условий полной неопределенности. В нем предполагается, что возможные состояния природы могут достигаться с вероятностями при условии, что Байес в 1763 г. предложил считать равными вероятности отдельных состояний природы. В 1812 г. Лаплас обобщил этот принцип на случай различных вероятностей При единичных решениях принцип Байеса – Лапласа не следует применять.

Принцип Гурвица Этот принцип является упрощенным вариантом принципа Байеса - Лапласа. Если известны вероятности отдельных состояний, то берут среднеарифметическое результатов при наилучшем решении. Иногда, если существует возможность определить вес наихудшего и наилучшего решений, используют их взвешенную среднеарифметическую.