Вычисление площадей многоугольников на клетчатой бумаге с применением различных способов (пригодится на ЕГЭ)

Рекомендации Для решения таких заданий, надо знать формулы вычисления площадей треугольника, прямоугольника, трапеции, параллелограмма, квадрата!!!!! Встречаются задачи, где используются свойства площадей. Фигуру надо разбить на части, площади которых можно найти по знакомым формулам. Или наоборот, фигуру надо достроить. Получится большая фигура, площадь которой мы сможем найти. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см на 1 см изображены различные фигуры. Надо найти площадь. Ответ записать в квадратных сантиметрах (наименования в ответ не писать)

1 см 3 х 1 0 х 1 5 S = a b 2 1 b a a, b – катеты прямоугольного треугольника Помощь 5 6 катет катет Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х 5 1 7, 5 Помощь S = a h a 2 1 a h h a - высота a - основание 7 основание высота Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х 2 0 8Помощь S = a h a 2 1 a h h a - высота a - основание 5 основание высота Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х Помощь S = a h a 2 1 a h h a - высота a - основание 6 основание высота Для тупоугольного треугольника высота может находиться во внешней области треугольника. Найти площадь фигуры

Формула Пика

Если вершины многоугольника находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат), то его площадь можно вычислить по формуле Пика: В - есть количество целочисленных точек внутри многоугольника Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г. Вычислить площадь фигуры Г – количество целочисленных точек на границе многоугольника S = В + Г/2 1 В = 7 Г = 8 S = В + Г/2 1 Итак, S = 7 + 8/2 1 = 10

Первый способ: 1. S = 7·4 = S 1 = S 3, S 2 = S S 2 = 5·1 = S 1 = 3·2 = 6 5. S = 28 – 11 = Ответ: 17 Вычислить площадь параллелограмма

Внутренние В = 16 Граничные Г = 4 Формула Пика S = В + Г/2 1 Ответ: 17 Вычислить площадь параллелограмма Площадь параллелограмма S = /2 – 1 = 17 Второй способ: Пользоваться формулой Пика я советую очень осторожно, потому что сбиться со счета в подсчете граничных точек довольно легко, поэтому лучше её использовать в качестве инструмента проверки.

1 см 3 х 1 0 х Помощь S = a h a 2 1 a h h a - высота a - основание 8 основание высота Для тупоугольного треугольника высота может находиться во внешней области треугольника. Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х 1 2 В = 10 Г = 6 S = /2 – 1 = 12 Считаем количество точек S = В + Г/2 1

1 см 3 х 1 0 х 5 1 0, Помощь Площадь многих фигур можно найти, разбивая их на части или, наоборот, достраивая до более крупных, но удобных для вычисления площадей фигур. S - ? Достроим этот треугольник до квадрата S1S1S1S1 S2S2S2S2 S3S3S3S3 S = S кв – S 1 – S 2 – S 3 Тогда площадь треугольника можно найти так: Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х 5 1 0, S - ? Найти площадь фигуры В = 9 Г = 5 S = 9 + 5/2 – 1 = 10,5 Считаем количество точек S = В + Г/2 1

1 см 3 х 1 0 х 1 2 Очевидно, что данный треугольник равнобедренный. 66 основание Помощь S = a h a 2 1 a h h a - высота a - основание Найдем основание по теореме Пифагора Найдем высоту по теореме Пифагора высота Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х 1 2 Другое решение Достроим фигуру до квадрата Найдём площади всех фигур: 1) квадрат со стороной 6, 2) два прямоугольных треугольника с катетами 1 и 5, 3) квадрат со стороной 1. S - ? 6 6 S1S1 S2S2 S4S4 S3S3S3S3 S = S кв – S 1 – S 2 – S 3 – S 4 Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х 1 2 Примени формулу Пика Считай количество точек S = В + Г/2 1

1 см 3 х 1 0 х 1 2 Эту фигуру удобно достроить до большего треугольника. основание высота Найти площадь фигуры

Внутренние В = 10 Граничные Г = 6 Площадь фигуры S = /2 – 1 = 12 1 см Формула Пика S = В + Г/2 1 Вычислить площадь фигуры 3 х 1 0 х 1 2

1 см 3 х 1 0 х 5 1 9, 9 3 Площадь трапеции найти очень просто, если знаешь формулу. высота основание S = (a+b) h 2 1 a, b – основания трапеции h – высота Помощь bah основание 4 Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х высота основание S = (a+b) h 2 1 a, b – основания трапеции h – высота Помощь bah основание 9 Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х высота основание S = (a+b) h 2 1 a, b – основания трапеции h – высота Помощь bah основание 2 Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х высота основание S = (a+b) h 2 1 a, b – основания трапеции h – высота Помощь bah основание 6 Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х 2 5 Примени формулу Пика Считай количество точек S = В + Г/2 1

1 см 3 х 1 0 х 5 3 2, 4 5 высота основание S = (a+b) h 2 1 a, b – основания трапеции h – высота Помощь bah основание 9 Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х высота основание S = (a+b) h 2 1 a, b – основания трапеции h – высота Помощь bah основание 2 Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х 2 1 Если на экзамене ты разволновался и забыл формулу для вычисления площади трапеции… S = (a+b) h 2 1 a, b – основания трапеции h – высота Помощь bah Выполним дополнительные построения так, чтобы получить фигуры, площади которых мы сможем вычислить S1S1S1S1 S2S2 S3S3S3S3 Ты получишь тот же ответ, но ты должен понимать, что потратишь больше времени! Этот способ не самый простой Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х 2 1 Примени формулу Пика Считай количество точек S = В + Г/2 1

1 см 3 х 1 0 х 5 3 1, Многие задачи можно решить разными способами. S1S1 S2S2 Выполним дополнительные построения так, чтобы получить фигуры, площади которых мы сможем вычислить. основание высота высота Второй ученик решал другим способом Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х 5 3 1, Второй ученик знает только, как вычислить площадь прямоугольного треугольника! S = a b 2 1 b a a, b – катеты прямоугольного треугольника Помощь S - ? S1S1 S2S2S2S2 S3S3 S4S4 Ужасно длинный способ! Ищу другой!!!

1 см 3 х 1 0 х 5 3 1, Ученик, который знает больше формул, решит задачу быстрее d 1, d 2 – взаимно перпендикулярные диагонали четырехугольника Помощь S = d 1 d d1d1d1d1 d2d2d2d2 Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х 5 3 1, Примени формулу Пика Считай количество точек S = В + Г/2 1

1 см 3 х 1 0 х 2 8 Первым решит задачу тот, кто знает формулу для вычисления площади параллелограмма. Помощь S = a h a a h h a – высота, проведенная к основанию a – основание параллелограмма 4 7 высота основание Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х 2 8 Примени формулу Пика Считай количество точек S = В + Г/2 1

1 см 3 х 1 0 х 3 3 Некоторые фигуры необходимо разбить на части или наоборот достроить… S - ? S1S1 S4S4 S2S2 S5S5 S3S3 7 7 Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х 3 3 S - ? Найти площадь фигуры Примени формулу Пика Считай количество точек S = В + Г/2 1

1 см 3 х 1 0 х 3 6 Если известно, что данная фигура прямоугольник, то найдем его длину и ширину по теореме Пифагора. 6 6 a b S - ? Найти площадь фигуры

1 см S1S1 S2S2 S3S3 Можно найти площадь каждого треугольника, а затем сложить результаты… Найти площадь фигуры

S - ? 1 см S1S1S1S1 S2S2S2S2 S3S3S3S3 9 9 Можно достроить до большого квадрата. Подумай, как найти площадь прямоугольника теперь… S4S4S4S4 Найти площадь фигуры

1 см 3 х 1 0 х 3 6 S - ? Найти площадь фигуры Примени формулу Пика Считай количество точек S = В + Г/2 1