Грандиозные достижения человечества - письменность и арифметика - есть не что иное, как системы кодирования речи и числовой информации. Дарвин считал, что обезьяну человеком сделал труд. Другие учёные считают, что человек стал Человеком благодаря своим успехам в кодировании информации, благодаря изобретению языка, письменности и способов кодирования и записи числовой информации. Чтобы использовать числа, нужно их как-то называть и записывать, нужна какая-то система записи числа - нужна система нумерации.

Система счисления – способ изображения чисел и соответствующие ему правила над числами

История систем счисления Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные. Единичная система. Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой- либо твердой поверхности: камне, глины, дереве. Ученые назвали этот способ записи чисел единичной (палочной) системой счисления.

Вавилонская шестидесятеричная система. Далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации – вавилонской – люди записывали цифры по- другому. В качестве цифр выступали два вида клиньев. Н-р, число 59, т.е. 5*10 + 9,

Шестидесятеричная вавилонская система – первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе. Римская система. В ней обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления. Значения числа равно: 1) сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовем их группой первого вида); 2) разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая.

Алфавитные системы. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем относились славянская, ионийская (греческая), финская и другие. В алфавитной славянской системе счисления цифры – это 27 букв кириллицы. Индийская мультипликативная система. Системы счисления, основанные на позиционном принципе, возникли независимо друг от друга сразу трех местах: в Древнем Междуречье (Вавилоне), у племени майя и, наконец, в Индии.

Каковы же были предпосылки для создания позиционной системы? Что привело людей к этому замечательному открытию? Чтобы ответить на эти вопросы, мы снова обратимся к истории. В Древнем Китае, Индии и в некоторых других странах существовали системы записи, построенные на мультипликативном принципе. На пример десятки обозначаются символом X, а сотни – Y. Тогда запись числа 323 схематично будет выглядеть так: 3Y 2X 3 В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется названия соответствующего заряда.

Непозиционная система счисления система, в которой значение символов (цифр) не зависит от его позиции в записи числа

Вычислим: MCMLIII*DLX

Недостатки непозиционных систем счисления Для записи больших чисел необходимо вводить новые цифры; Трудно записывать большие числа; Нельзя записывать дробные и отрицательные числа; Нет нуля; Сложно выполнять арифметические операции.

Позиционные системы счисления Системы, в которых значение символов зависят от позиции в записи числа. Количество цифр, используемых в позиционной системе счисления – основание системы счисления.

Достоинства позиционных систем Ограниченное количество символов для записи чисел Простота выполнения арифметических операций

Основание сс 60 - др. Вавилон ( счет времени, доли градусов) 12 сс – др. Германия (фарфор – дюжины, англ. и нем. Язык для цифр 11 и 12 специальные названия)

Десятичная система счисления Появилась в древней Индии в V веке, хотя ее и называют арабской. Широкое распространение получила только в 16 веке.

Основание десятичной системы счисления – 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.) Почему позиционная: единицы, 3 – десятки, 3 - сотни

333=3*100+3*10+3 или 333=3* * *10 0 Свернутая форма записи числа Развернутая форма записи числа То есть, всякое десятичное число можно представить как сумму произведений составляющих его цифр на соответствующие степени десятки.

Развернутая форма записи числа A p =a n p n +a n-1 p n a 2 p 2 +a 1 p 1 +a 0 p 0 +a -1 p -1 + a -2 p a -k p -k где p - основание системы счисления p i - вес единицы данного разряда a i - цифры, разрешённые в данной системе счисления.

Н.Н.Лузин, рус.математик: « Преимущества 10 с с не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не 10 пальцев, а 8, то человечество пользовалось бы 8 с с »

Актуализация знаний А) запишите десятичные числа в римской системе счисления: 464, 390, Б) переведите числа из римской системы счисления в десятичную: LXXXVI, XLI, CMXCIX.

В) Записать в развернутой форме числа: N 8 =7764,1 8 N 5 =2430,43 5 N 16 =3AF,15 16

До/За: 1. Сравните числа: и и Е3 16 и В саду 100 фруктовых деревьев – 14 яблонь и 42 груши. В какой системе счисления посчитаны деревья?