Основні поняття математичної логіки

Висловлення. Логічні константи. Логічні операції Один з розділів логіки - математична логіка є наукою про закони математичного мислення. До основних понять математичної логіки вхо­дить поняття висловлення. Під висловленням розуміють розповідне ре­чення, про яке можна однозначно сказати, правильне (істинне) воно чи неправильне (хибне). Висловлення позначають великими літерами ан­глійського алфавіту, наприклад А = «Київ - столиця України», В = « = 5». Основною властивістю висловлення є його істинність, інші властивос­ті вважаються несуттєвими. Значення істинності висловлення познача­ють 1 або true, якщо висловлення істинне, 0 або false, якщо висловлення хибне. Наприклад, висловлення А = «Київ - столиця України» є істин­ним, тобто значення його властивості істинність дорівнює true. Вислов­лення С = «З > 5» є хибним, тобто значення його властивості істинність дорівнює false.

Значення true та false називаються логічними константами. Із заданих висловлень можна отримати нові - складені, - використовуючи логічні операції: заперечення, кон'юнкцію (лат. conjunctio - об'єднання), диз'юнкцію (лат. disjunctio - роз'єднання).

Заперечення Запереченням називається операція утворення з висловлення А такого складеного висловлення (читається «не А»), яке істинне тоді, коли А хибне, і хибне тоді, коли А істинне. А не А таблиці істинності.

Кон'юнкція Кон'юнкцією двох висловлень А та В називається операція утворення такого складеного висловлення А ^ В (читається «A і В»), яке істинне тоді й тільки тоді, коли обидва висловлення А і В істинні. АВА ^ В таблиці істинності.

Диз'юнкція Диз'юнкцією двох висловлень А та В називається операція утворення такого складеного висловлення A v В (читається «А або Б»), яке істинне тоді й тільки тоді, коли істинне хоча б одне з висловлень А або В. Використанню операції диз'юнкція в українській мові відповідає вживання сполучника «або». Наприклад, висловлення С = «21 21» є диз'юнкцією двох висловлень: «21 = 21» або «21 < 21». АВ A v В таблиці істинності.

Під час розв'язування багатьох задач трапляються висловлення зі змінними, в яких використовуються знаки порівняння: > (більше), (не дорівнює), >= (більше або дорівнює), 5, у < z. Висловлення х 3) ^ (х < 5).

Логічні змінні. Логічна змінна це змінна, яка може набувати лише значень true або false. Два логічні вирази називаються рівносильними, якщо вони набувають однакових значень при одних і тих самих наборах значень логічних змінних, що входять до цих виразів.

Наведемо кілька цікавих і корисних логічних формул: