Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Преподаватель: Французова Г.Н.

Содержание Ранг матрицы Ранг матрицы Ступенчатая матрица размера Ступенчатая матрица размера Элементарные преобразования матрицы Элементарные преобразования матрицы Обратная матрица Обратная матрица Теорема Теорема Свойства обратной матрицы Свойства обратной матрицы

Ранг матрицы Если А ¹ 0, то есть, то всегда можно указать натуральное число r такое, что: 1)у матрицы А имеется минор r-го порядка D r ¹ 0; 2)всякий минор матрицы А порядка r+1 и выше равен нулю, то число r, обладающее указанными свойствами, называется рангом матрицы А и обозначается r = Rg A.

Очевидно, что. Очевидно, что. Если все аij = 0, то r=RgV=0. Замечание. Если все аij = 0, то r=RgV=0. Замечание. Из определения 6 следует, что ранг r = Rg A матрицы А - это наивысший порядок отличного от нуля минора D r матрицы А. Из определения 6 следует, что ранг r = Rg A матрицы А - это наивысший порядок отличного от нуля минора D r матрицы А.

Определение. Определение. Всякий D r ¹ 0, то есть всякий отличный от нуля минор r-го порядка матрицы А, у которой Rg A=r, называется базисным минором матрицы А. Всякий D r ¹ 0, то есть всякий отличный от нуля минор r-го порядка матрицы А, у которой Rg A=r, называется базисным минором матрицы А.

ПРИМЕР 1: Очевидно, r = Rg A = 1 Очевидно, r = Rg A = 1 ПРИМЕР 2: Так как det A = D 3 = 7¹ 0, то r = Rg A = 3.

ПРИМЕР 3: det A = D 3 = 0 и так как это единственный минор третьего порядка, то r = Rg A¹ = 3.

Ступенчатая матрица размера где а 11 0, а 22 0,..., а r r 0.

Ее минор r-го порядка, Ее минор r-го порядка то есть Rg B = r, где r - число ненулевых строк ступенчатой матрицы

Элементарные преобразования матрицы Перестановка любых двух строк (столбцов); Перестановка любых двух строк (столбцов); Умножение какой-либо строки (столбца) на число а 0; Умножение какой-либо строки (столбца) на число а 0; Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число; Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число; Вычеркивание (отбрасывание) строки (столбца), состоящей из одних нулей ; Вычеркивание (отбрасывание) строки (столбца), состоящей из одних нулей ;

Эквивалентные матрицы Две матрицы А и В, получающиеся одна из другой с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными. Две матрицы А и В, получающиеся одна из другой с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными. Обозначение эквивалентности A ~ B. Эквивалентные матрицы, вообще говоря, не равны друг другу, но можно доказать, что ранги эквивалентных матриц равны

Любую ненулевую матрицу А можно привести с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду В и, следовательно, найти ее ранг Любую ненулевую матрицу А можно привести с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду В и, следовательно, найти ее ранг Rg A= Rg B.

Найти ранг матрицы РЕШЕНИЕ. Вычитаем из второй и третьей строк матрицы А первую строку, умноженную, соответственно, на 2 и 1, затем в полученной матрице А элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженной на единицу, далее в полученной матрице вычеркиваем (отбрасываем) третью строку, состоящую из одних нулей

РЕШЕНИЕ. ~ ~~ ~ Очевидно, RgA=RgB=2. = B.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Обратной по отношению к заданной квад­рат­ной матрице А называют такую матрицу А -1, что Обратной по отношению к заданной квад­рат­ной матрице А называют такую матрицу А -1, что А А -1 = А -1 А = Е

ПРИМЕР: Если и |A|0, то обратной будет матрица так как А А -1 = А -1 А = Е =

Матрицу А, которая имеет обратную матрицу А -1, называют обратимой или неособенной.

ТЕОРЕМА. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу обратную матрицу А -1, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, то есть чтобы det A ¹ 0.

Матрицу А * называют присоединенной к матрице А. Найдем произведение матриц А А*:

Формула нахождения обратной матрицы

Напомним, что: A ik = (-1) i+k M ik есть алгебраическое дополнение элемента a ik, A ik = (-1) i+k M ik есть алгебраическое дополнение элемента a ik, а M ik - его минор а M ik - его минор

Найти обратную матрицу А -1. РЕШЕНИЕ. det A 0, то есть А является невырожденной матрицей и имеет обратную А -1. Для составления присоединенной матрицы А* найдем алгебраические дополнения.

то есть следовательно,

Свойства обратной матрицы (АВ) -1 = В -1 А -1 ; так как (АВ) -1 = В -1 А -1 ; так как (АВ)( В -1 А -1 )= А(В В -1 )А -1 = А(Е)А -1 =АА -1 =Е и (В -1 А -1 ) (АВ) = Е; (А -1 ) -1 = А; (А -1 ) -1 = А; (А т ) -1 = (А -1 ) т (А т ) -1 = (А -1 ) т