Крутченко Ольги 11ФМ Взаимное расположение линейных фигур в задачах С4.

Например: На прямой взяты точки А, В и С, так что расстояние между точками А и В равно 5, а между В и С равно 3. найдите расстояние между точками А и С. а) АС= АВ+ВС = 5+3=8 б) АС = АВ – ВС = 5 – 3 = 2 в) АС= ВС – ВА = 3 – 5 = -2, что невозможно Взаимное расположение различных точек на прямой.

Например: Дан параллелограмм ABCD. Точка М лежит на диагонали DB и делит ее в отношении 1:2. Возможные варианты чертежа: Взаимное расположение различных точек на прямой.

Например: Через середину стороны АВ квадрата АВСD проведена прямая пересекающая прямые СD и AD в точках М и Т соответственно. Чертеж: Взаимное расположение точки и отрезка лежащих на одной прямой.

Дано: Прямая отсекает от сторон прямого угла отрезки 3 и 4. Найдите радиус окружности, касающейся этой прямой и сторон угла. Решение: Возможны 2 случая. 1) окружность касается гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС Взаимное расположение прямой и точки вне прямой.

Пусть R радиус окружности. BK=BN и NA=AM, как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки. Аналогично, СК=СМ. Отрезок ОК перпендикулярен СК и ОМ перпендикулярен СМ. Т.к углы КСМ, СМО, СКО прямые и СК=СМ, то СКОМ – квадрат и СК=СМ=R. Следовательно, СК+СМ = ВС+ВN+AM+AN=2R. И ВС+ВN+AM+AN=. В треугольнике АВС по теореме Пифагора гипотенуза ВА=5 Отсюда, R= = = 6.

2) Окружность вписана в треугольник АВС. Пусть r - искомый радиус окружности. Пусть в треугольнике АВС АС=3 и СВ=4 (по условию). Тогда, по теореме Пифагора АВ=5 Площадь прямоугольного треугольника АВС равна : и. Откуда Ответ : 1 или 6

Дано: Около треугольника АВС описана окружность с центром в точке О. Найдите величину угла АСВ, если угол ОСВ равен 10, а угол АОС равен 40. Решение: Взаимное расположение прямой и двух точек вне прямой. В окружности проведем диаметр СС. Тогда дуга окружности ВС, на которую опирается центральный угол ВОС, равна 20.

Рассмотрим радиус ОС. В зависимости от расположения точек А и В можно построить два центральных угла СОА и СОА, равных 40. Тогда образуется два треугольника удовлетворяющих условиям задачи, АВС и А ВС. Вписанный угол АСВ, треугольника АВС, опирается на дугу равную 120. (Т.к угол ОСВ является вписанным и равен 10, следовательно дуга ВС =20.) Значит, угол АСВ=60. Вписанный угол А ВС, треугольника А ВС, опирается на дугу А С В, равную 160. Значит, угол А СВ равен 80. Ответ: 60 или 80

Дано: Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции. Решение: Т.к трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. Пусть ВС=14 хорда окружности. Существует две хорды равные 40 и параллельные ВС. Значит возможны два случая решения. Взаимное расположение точки и двух параллельных прямых.

Центр окружности описанной около трапеции лежит на пересечении серединных перпендикуляров проведенных к сторонам трапеции. Пусть ЕF перпендикуляр к ВС и АD. Тогда точка О принадлежит отрезку ЕF. Тогда ВF=0,5*BC= 7 и AE=0,5*AD= 20. И ОА=ОВ=25 (радиусы окружности) 1 случай: точка О лежит внутри трапеции АВСD. В этом случае высота EF = FO+OE. Из прямоугольных треугольников ВОF и АОЕ по теореме Пифагора ЕF = OF+OE = = 39

2 случай В трапеции АВСD центр описанной окружности лежит вне трапеции. В этом случае высота ЕF = FO – OE. Аналогично FO = 24 и EO = 15. EF = 24 – 15 = 9. Ответ: 9 или 39