Федорова Т.А. учитель математики МОУ «СОШ 77» г. Новокузнецка Кемеровской области, 2009 г.

«Считай несчастным тот день или час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию» Я.А. Каменский

План изучения темы Геометрический смысл производной. ( Урок 1 ) Геометрический смысл производной. ( Урок 1 ) Геометрический смысл производной. ( Урок 1 ) Геометрический смысл производной. ( Урок 1 ) Уравнение касательной к графику функции. ( Урок 2 ) Уравнение касательной к графику функции. ( Урок 2 ) Уравнение касательной к графику функции. ( Урок 2 ) Уравнение касательной к графику функции. ( Урок 2 ) Практикум по решению задач ( Урок 3 ) Практикум по решению задач ( Урок 3 ) Практикум по решению задач ( Урок 3 ) Практикум по решению задач ( Урок 3 )

Исаак Ньютон ( гг.)- английский математик, физик, алхимик Фридрих Лейбниц( )- немецкий математик, физик, философ Николай Тарталья ( гг.) – итальянский математик Штрихи к портрету Архимед ( 287 г. до н.э.)- древнегреческий механик, физик, математик Иоганн Кеплер ( гг.)- немецкий ученый-астроном Рене Декарт ( гг.)- французский физик, математик, философ

Касательной к кривой в данной точке А называется предельное положение секущей АВ, когда точка В стремиться вдоль кривой к точке А А В y x с е к у щ а я касательная Определение касательной

Геометрический смысл производной Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ

х 1 х 1 х 2 х 2 х 3 х 3 х 4 х 4 Назвать точку, в которой касательная образует острый угол с осью Ох. α-острый α Назвать точку, в которой касательная образует тупой угол с осью Ох. β-тупой β Назвать точку, в которой производная f ´(х)= 0. φ=0, tgφ=0, значит f ´(х 4 )=0 Назвать точку, в которой производная f ´(х)> 0. tgα>0, значит f ´(х 1 )>0 Назвать точку, в которой производная f ´(х)< 0. tgβ<0, значит f ´(х 2 )<0 Назвать точку, в которой производная не существует. γ=90º, tg 90º не существует значит f´(x 3 ) не существует γ

Ответь на вопрос: Какими из перечисленных свойств обладают функции, заданные графиками: ПРОВЕРКА х у ав 1 уха в 2 у ха в 3 у ха в 4 уха в 5 A.В каждой точке графика можно провести касательную. B.В каждой точке графика угловой коэффициент касательной k0. C.В каждой точке графика касательная наклонена под острым углом к положительному направлению оси Ох. D.Существуют точки, в которых производная не существует. E.Существуют точки, в которых производная равна нулю. F.График касательной совпадает с графиком функции + _ _ _ _ + + _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ + _ _ _ _

рисунок а : рисунок б: рисунок в: рисунок г: а) В, D; а) В, С, D; а) А, С, Е; а) А, С, Е; б) А, Е; б) Е б) В, F; б) D; в) С. в) А. в) D. в) В;F рисунок а: рисунок б: рисунок в: рисунок г: а) b, d; а) b, d; а) a, b, d; а) b, d; б) с; б) a, e; б) e; б) с; в) а,e. в) с. в) с. в) а, e. Проверь себя

x0x0 На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х ВЕРНО! Подумай ! Геометрический смысл производной:f´(x 0 )= k = tg a. Угол наклона касательной к графику функции тупой, значит k<0. Из прямоугольного треугольника tg(180°- а) = 6:3 = 2. Значит f´(x 0 )= -2 Решение

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение углового коэффициента касательной. x0x Подумай ! ВЕРНО! Подумай ! Геометрический смысл производной: k = tg a. Угол наклона касательной к графику функции острый, значит k>0. Из прямоугольного треугольника tg а = 7:7 = 1. Значит k= 1. Решение x

К графику функции у=f(x) в точке с абсциссой х 0 =6 проведена касательная. Найдите ее угловой коэффициент, если на рисунке изображен график производной этой функции ВЕРНО! Подумай ! y=f´(x) x 6 -2 Геометрический смысл производной k=f´(x). Находим на графике точку с абсциссой х 0 =6 Находим ординату этой точки.Значит k=-2 Решение(4) ,

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х Подумай ! ВЕРНО! Решение x0x0 Геометрический смысл производной:f´(x 0 )= k = tg a. Угол между касательной и положительным направлением оси Ох равен 0. Значит f´(x 0 )= k = =tg 0=0. x

Непрерывная функция у=f(x) задана на отрезке [-11;8]. Укажите количество точек графика функции, в которых значение производной равно Подумай ! ВЕРНО! Подумай ! x В точках, где производная равна 0 касательная параллельна оси Ох Решение

Функция y=f (x) определена на промежутке (-8;7) На рисунке изображен график ее производной. Найдите число точек графика функции y=f (x), в которых касательная к графику наклонена под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс ВЕРНО! Подумай ! y=f´(x) x Геометрический смысл производной f´(x)= k = tg a. tg 45°=1. Значит, f´(x)= 1. На графике находим точки с ординатой, равной 1. Решение(4) Проводим прямую у = 1. Прямая пересекает график функции в 4-х точках

§ 5 п. 19(1) Базовый уровень: 253(г), 254(в), 259(а), Повышенный уровень: а) 260 (в) б) Найти абсциссы всех точек графика функции, в которых касательные параллельны прямой у = - 28 х ( задание С1, КИМ ЕГЭ 2009 г.) Высокий уровень: При каких значениях параметра а касательные к графику функции у =4 х 2 -|a|х, проведенные в точках его пересечения с осью х, образуют между собой угол 60°. Домашнее задание

253(г) f ´ (x) =2x+2; f ´ (1) =2·1+2=4 Значит tg α= (в) f ´ (x) =cosx; f ´ (π) =cosπ=-1; Значит, tg α= (а) Находим точки пересечения графика с осью ох: 3 х-х 3 =0; х(3-х 2 )=0; х 1 = 0, х 2 =, x 3 = f´(x) = 3 - 3x 2 tgα 1 = f´(0)=3 ; α 1 = arctg3 в точке (0;0) tgα 2 = f´( )= f´( ) = - 6 ; α 2 = π - arctg 6 в точках ( ;0) и ( ;0) Проверка домашнего задания Базовый уровень:Повышенный уровень: а) 260(в) f´ (x) = = (x-1) tgα = f´ (0) = 0-1 = - 1 α = arctg (-1) = ; β= = б) Д(f) = f(x) = 3 – x - x 3 f´(x) = x 2 Т.к. касательная параллельна прямой у = - 28 х, то ее угловой коэффициент k =-28. Используя геометрический смысл производной находим точки, в которых f´(x)= x 2 = - 28, x 1 = 3 ; x 2 = - 3 – не входит в Д(f) Ответ: 3 y х

Проверка домашнего задания Высокий уровень: 60° Угол между касательной, проведенной в точке и положительным направлением оси х может быть равен 30°( рис б) или 60°( рис а) f´ ( x ) = 8x - |a|; f´ ( ) = 8 - |a|= |a| Значит tg30°= = |a|, тогда а = tg60°= = |a|, тогда а = yy xx Рис а Рис б 30° 60°

? Устные упражнения 5 1 у х 6 1 у х Исключите лишний рисунок Какие из данных графиков соответствуют следующим функциям: Что является касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 =0? Назовите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 = у х 1 4 у х х 1 2 у у х

Уравнение касательной Уравнение касательной к кривой y=f (x) в заданной точке с абсциссой х 0 имеет вид: Уравнение касательной к кривой y=f (x) в заданной точке с абсциссой х 0 имеет вид: -Значение функции в точке х 0 -Значение производной функции в точке х 0

Уравнение касательной Алгоритм нахождения уравнения касательной в точке х=х 0 1. Вычислить 2. Найти и вычислить 3. Подставить числа,, в уравнение касательной Пример Составить уравнение касательной к графику функции у=х 2 +2 х – 3 в точке х 0 = Подставим числа в уравнение. Получим или ГРАФИК

у=х 2 +2 х-3 у=-2 х-7 А Графическая иллюстрация задачи

Задача Составить уравнение касательной к графику функции у=х 2 в точках 1 гр 2 гр 3 гр 4 гр 5 гр 6 гр х 0 =2 х 0 =1 х 0 =-3 х 0 =4 х 0 =3 х 0 =-2 и найти абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох х 0 х 0 х ,50,511,52 ? Проанализируйте результат и выскажите гипотезу ?

х у Чтобы построить касательную к графику функции у=ах 2 в любой точке с абсциссой х 0 нужно провести прямую через середину отрезка с концами 0 и х 0 и данную точку.

Самостоятельная работа Построить график функции у = -х х – 5 и касательную к графику в точке х 0 = 4. I Вариант II Вариант Построить график функции у = 0,5 х х и касательную к графику в точке х 0 = -1. Проверка Уравнение касательной: у=-2 х Уравнение касательной: у=2 х Вопрос Можно ли использовать метод построения касательной к графику функции у = ах 2 ( с помощью циркуля и линейки) в вашем случае? Если да, то как? ?

х у х у А

Формула Лагранжа αα аb c x y 0 α f (b) f (a) А В

Задачи Касательная к графику функции 1. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = х х – 8, параллельной прямой 4 х + у + 4 = Составьте уравнение параболы у = х 2 + bx +c, касающейся прямой у = х – 1 в точке (2;1) y = - 4 х – 4; Угловой коэффициент прямой k = - 4; f´ (x) = 2x – 2; Т.к. касательная и прямая параллельны => 2 х – 2 = - 4; x = - 1. f (- 1) = ( - 1) 2 - 2·( - 1) – 8 = - 5 В точке ( - 1; - 5) касательная параллельна прямой 4 х + у + 4 = 0. Составим уравнение касательной у = - 4 х + b, которой принадлежит точка ( -1; -5). - 5 = - 4 · ( - 1) + b; => b = -9 у = - 4 х – 9- уравнение касательной Решение задачи 1 Решение задачи 2 y´ = 2 х + b; y´(2) = 2·2 + b = 4 + b; Т. к. прямая у = х – 1, где k = 1, является касательной к параболе в точке ( 2 ; 1) => 4 + b = 1; (геометрический смысл производной) Откуда, b = - 3; Т. к. точка ( 2 ; 1) принадлежит параболе => 1 = 2 2 – 3 · 2 +с; с = 3 у = х 2 – 3 х + 3 – уравнение параболы, касающейся прямой у = х – 1 в точке ( 2; 1)

Домашнее задание Составить уравнение касательных к графику функции в точках х 0 =0,5; х 0 =1; х 0 =2,5. Найти: а) точки пересечения касательных с осями координат, б) площадь прямоугольного треугольника, образованного касательной и осями координат. Сформулировать геометрический метод построения касательной к графику данной функции с помощью циркуля и линейки. § 5, п. 19( 2,3) 255(в) 256 (г)

Графическая иллюстрация домашней задачи S=2S=2S=2

Составь задачу у ха 2 а 2 0 Задача 1 : При каких значениях а прямая является касательной к графику функции ? Задача 2: При каких значениях а уравнение имеет единственное решение?

Задачи Профиль моста имеет форму параболы с высотой центральной части 10 м и длиной основания 120 м. Какой должен быть наклон насыпи на концах моста? Найти площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к кривой в точке М(3;2) Прямая и парабола пересекаются в точках А и В. Найти точку пересечения прямых, касающихся параболы в этих точках. Найти уравнения касательных к параболе, если касательные пересекаются под прямым углом, а одна из них проходит через точку с абсциссой 3. УКАЗАНИЕ 1. Поместить мост в прямоугольную систему координат и взяв за единичный отрезок 10 м составить уравнение параболы ветви которой направлены вниз, вершина которой находится в точке (6;1), проходящей через начало координат. 2. Найти угловой коэффициент касательной к найденной параболе в точке с абсциссой х 0 =0 12 у х Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 =3. 2. Найти точки пересечения касательной с осями координат. 3. Найти площадь прямоугольного треугольника. у х Найти абсциссы точек А и В пересечения прямой и параболы. 2. Составить уравнения касательных к параболе в точках с найденными абсциссами. 3. Составить систему, состоящую из двух уравнений касательных и решить ее. у х 1 А В 1. Составить уравнение первой касательной к графику функции, зная абсциссу точки касания х 0 =3. 2. Используя условие перпендикулярности двух прямых (k 1 k 2 =-1), найти угловой коэффициент второй касательной. 2. Зная геометрический смысл производной, найти вторую точку касания и составить уравнение касательной в найденной точке. у х 1

Домашнее задание Задача 1: Доказать, что точка, в которой проведена касательная к графику функции, является центром окружности, описанной около треугольника, образованного касательной и осями координат. Задача 2 : При каких значениях а прямая является касательной к графику функции ? у ха 2 а 2 0 у х