Принятие решений в сельском хозяйстве. Статистический контроль партии готовых изделий и вероятность перебоев производства. Выполнила: студентка 245(а) гр. Беспалько И.С.

Задача 1.1. Планирование участков земли под картофель, проводимое методом Байеса. Необходимо принять решение на каких участках сажать картофель: на сухих или на тех, которые сами по себе являются влажными. Введём условные обозначения: T={t 1,t 2 }-множество состояний природы; t 1 -осадки выше нормы; t 2 -сухое лето (осадки не выше нормы); A={a 1, a 2 }-множество решений; a 1 –посадку производить на участках с большой влажностью почвы; a 2 –посадку производить на сухих участках, так как ожидается влажное лето; Известны средние урожаи в зависимости от принятого решения и состояния природы. При этом наименьшие (наибольшие) урожаи бывают, если осадки выше нормы (влажное лето)- t 1 (t 2 ) и принимается решение a 1 (a 2 )–сажать картофель на влажных (сухих) участках.

Представим функцию потерь L (d, a) в виде разности между наибольшей прибылью и прибылью, которая может быть получена во всех остальных случаях. Пусть X={x 1,x 2 }-множество наблюдений, где x 1 и x 2 наблюдается большое и малое количество осадков соответственно. В зависимости от состояния природы t i и наблюдения погоды x i получим следующие значения условных распределений: P{x 1,t 1 }=0.6; P{x 1,t 2 }=0.3; P{x 2,t 1 }=0.4; P{x 2,t 2 }=0.7; По двум решениям статистика a 1 и a 2 и результатам наблюдения получаем четыре нерандомизированные функции решения d D. A Ta1a1 a2a2 t1t1 525 t2t2 208 По многолетним результатам известна средняя прибыль на 1 га в тыс. руб. A Ta1a1 a2a2 t1t1 200 t2t2 517 d xd1d1 d2d2 d3d3 d4d4 x1x1 a1a1 a1a1 a2a2 a2a2 x2x2 a1a1 a2a2 a1a1 a2a2

В статистической игре (T,D,R), которая посвящена выбору участков земли для посадки картофеля, определим функции риска R (t, d): табл. 1 Будем считать, что в рассматриваемом районе априорное распределение состояний природы приводит к одинаковым шансам для сухого и влажного лета при исследовании состояний природы. Значит, P(t 1 )=0,5; P(t 2 )=0,5. Вычислим байевский риск r(e, d): r(e,d 1 )=20,0*0,5+5,0*0,5=12,5; r(e,d 3 )=8,0*0,5+8,6*0,5=8,3; r(e,d 2 )=12,0*0,5+13,4*0,5=12,7; r(e,d 4 )=0,0*0,5+17,0*0,5=8,5; Минимальный баевский риск наблюдается для функции d 3. Вывод. Нерандомизированнная функция решения d 3, которая включает решение для d(x 1 )=a 2 и d(x 2 )= a 1, является байевской функцией решения. Это Оптимальная стратегия статистика. R(t 1,d 1 )=20*0,6+20*0,4=20,0; R(t 1,d 2 )=20*0,6+0*0,4=12,0; R(t 1,d 3 )=0*0,6+20*0,4=8,0; R(t 1,d 4 )=0*0,3+0*0,7=0,0; R(t 2,d 1 )=5*0,3+5*0,7=5,0; R(t 2,d 2 )=5*0,3+17*0,7=13,4; R(t 2,d 3 )=17*0,3+5*0,7=8,6; R(t 2,d 4 )=17*0,6+17*0,7=17,0; d td1d1 d2d2 d3d3 d4d4 t1t1 20,012,08,00,0 t2t2 5,013,48,617,0

Задача 1.2. Планирование участков земли под посевы картофеля методом линейного программирования. В задаче 1.1 мы получили оптимальное байевское решение d 3. Теперь попробуем получить минимаксную, более осторожную стратегию. Минимаксную функцию решения следует искать как смешанную стратегию среди рандомизированных функций решения, потому что матрица значений функций риска R(t, d) для нерандомизированных функций решения d D не имеет седловой точки. Применяя метод линейного программирования и учитывая, что при оптимальном решении ограничения записываются как равенства, получаем из табл. 1 при ненулевых значениях и систему уравнений, которая включает цену игры Вывод. Минимаксная стратегия, ещё более осторожная, чем оптимальная Байевская, для сельскохозяйственного предприятия заключается в использовании стратегий d 1 и d 3 с вероятностью соответственно 0,04 и 0,96. Применение на практике. Если весной наблюдается x 1 (большое количество осадков), то осуществляется случайный выбор с вероятностями 0,04 и 0,96 одного из решений: a 1 или a 2. При наблюдении x 2 (малое количество осадков весной) принимается решение a 1 о посадке картофеля на влажных участках A 1.

Статистический контроль партии готовых изделий и вероятность перебоев производства. На основе статистических планов приёмки продукции всегда должно быть известно, сколько изделий следует случайным образом отобрать для статистического контроля и при каких условиях принимается решение о браковке или приёмке партии. Планов контроля имеется большое множество, однако благодаря своей простоте часто применяется одноступенчатый статистический план приёмки где -объём выборки; -приёмочное число. Если из проверенных изделий число дефектных не будет превышать партия принимается. Значит, -допустимое число дефектных в выборке из изделий. Представитель торгового предприятия при считает партию хорошей и принимает её на основе анализа выборки. Затем производитель покрывает стоимость каждого обнаруженного изделия путём замены, бесплатного ремонта или другим путём, означенным в договоре. Если то партия не принимается торговым предприятием, а производитель осуществляет сплошную проверку партии и выявляет дефектные изделия.

Задача 2. Выбрать оптимальное критическое число k. Значение k может быть определено с помощью статистической игры. Введём обозначения: доля дефектных изделий, - состояние природы - объём партии изделий; - интервал от 0 до 1 с включением границ этого интервала; -множество решений статистика, где -решения о приёмке и о браковке партии со сплошным её контролем; - затраты на проверку одного изделия; - сумма, уплачиваемая производителем за каждое обнаруженное дефектное изделие после приёмки партии. Функция потерь: где -стоимость контроля выборочной совокупности изделий в процессе контроля; -сумма, выплачиваемая производителем за изделия, когда они окажутся дефектными после приёмки; -затраты на сплошной контроль, если партия не была принята.

Итак, стратегическая игра будет иметь вид Для определённости будем считать: торговая фирма оплачивает только исправные изделия, а дефектные заменяются исправными; при большой партии распределение вероятностей случайной переменной- числа дефектных изделий -подчиняется биномиальному закону. Функция вероятности зависит от действительной доли бракованных изделий в принимаемой партии контролёр наблюдает число в выборке объёма - статистическая нерандомизированная функция решения контролёра. Контролёр может принять одно из двух значений: (принять) или (не принять партию). Однако нам необходимо осуществить оптимальный выбор критического числа поэтому перейдём к статистической игре. В этой игре используем информацию о числе забракованных изделий в выборке объёмом распределение зависит от состояния природы - доли дефектных изделий.

Решение. Для состояния природы и статистической нерандомизированной функции решения определяющей критическое число при контроле партии готовых изделий, можно в статистической игре найти функцию платежей или функцию риска Это выражение можно раскрыть, используя биномиальное распределение. Далее в качестве целевой функции определяющей оптимальное критическое число выберем байевскую нерандомизированную функцию. Пусть процесс производства является отлаженным, тогда доля дефектных изделий в партии будет иметь бета-распределение, задание на интервале [0,1]. В зависимости от принятых параметров и можно определить априорное распределение доли дефектных изделий в принимаемых партиях. Таким образом, априорным распределением состояний природы принимается Бета-распределение с функцией плотности при где - бета – функция. Известно, что существует связь между бета- и гамма - функциями: где - гамма – функция.

Байевский риск при этом распределение будет Этот байевский риск следует минимизировать относительно При известных размерах партии выборки затрат и параметров априорного бета – распределения и байевский риск будет только функцией Теперь нужно найти такое натуральное чтобы удовлетворялись неравенства и Рассмотрим неравенство из которого следует, что Используя связи между бета- и гамма – распределениями и формулу гамма – функции где факториал, получим если Значит, и неравенство выполняется при Обратимся к неравенству и найдём значение для которого оно выполняется. При этом необходимо преобразовать байевский риск после чего получаем неравенство которое выполняется, если

Тогда т.е при В этом случае байевский риск примет минимальное значение для такого натурального числа которое удовлетворяет двойному неравенству Вывод. С помощью нерандомизированной байевской функции получаем решение при одноступенчатом статистическом плане приёмке партии изделий, если известно распределение доли дефектных изделий в партии, т.е. априорное распределение состояний природы.