АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ: тригонометрические уравнения из года в год встречаются среди заданий ЕГЭ; в школьной программе отводится мало времени на изучение данной темы; уравнения повышенной сложности изучаются на факультативных занятиях в ознакомительном порядке.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить методы решения тригонометрических уравнений; исследовать применение их к решению уравнений повышенной сложности и заданий различного содержания.

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ: - рассмотреть исторические сведения о тригонометрических уравнениях; - изучить общие сведения о простых тригонометрических уравнениях; - изучить методы решения тригонометрических уравнений; - исследовать применение методов решения тригонометрических уравнений к решению уравнений повышенной сложности и заданий на нахождение дополнительных условий; - подготовить упражнения и составить тест для самостоятельного решения учащихся.

ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЙ: 1. Анализ методов решения тригонометрических уравнений наиболее часто применяемых на практике. 2. Применение различных методов исследования: изучение литературы, материалов учебных интернет – сайтов по данной теме; консультации с преподавателем; применение различных методов решения тригонометрических уравнений на практике. 3. Анализ и подбор заданий для самостоятельного решения разной сложности. 4. Самостоятельное решение уравнений.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ: 1. Из истории тригонометрии. 2. Общие сведения о тригонометрических уравнениях. 3. Методы решения тригонометрических уравнений. 4. Приемы решения тригонометрических уравнений, требующих искусственных преобразований. 5. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях. 6. Применение рассмотренных методов решения тригонометрических уравнений. 7. Приложение 1. Тест по теме «Тригонометрические уравнения» и ответы к нему.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Алгебраические уравнения относительно одной из тригонометрических функций. 2 sin 2 х + cosх – 1 = 0 2tg х – 3 ctg х – 1 = 0 2 ( 1 - cos 2 x ) + cosх – 1 = 0, cos 2 x + cosх – 1 = 0, 2 cos 2 x – cos х – 1 = 0. Пусть cos х = t, где -1t1, тогда 2 t 2 - t – 1 = 0, D = 9, t 1= 1, t 2= -0,5 cos х = 1 cos х = -0,5 х = 2πn, nZ;х = ± 2π/3 + 2πn, nZ Ответ: 2πn, ± 2π/3 + 2πn, nZ 2tg х- – 1 = 0, 0= 2 tg 2 x – tg х – 3 = 0. Пусть tg х = t, тогда 2 t 2 - t – 3 = 0 D= 25, t 1= 1,5, t 2= -1 tg х = 1,5 tg х = -1 х = arctg 1,5 + πn, nZ х = -π/4 + πn, nZ Ответ: arctg 1,5 + πn, - π/4 + πn, nZ

ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА УРАВНЕНИЯ 4 cos 2 x + cos 2 х= 5 sin 4 х + cos 2 2x = 2 4×0,5(1 + cos 2 х)+cos2 х = 5, 2 + 2cos 2 х + cos 2x = 5, cos 2 х = 1, 2 х = 2 πn, nZ, х = πn, nZ Ответ: πn, nZ ¼(1-cos2x) 2 +cos 2 2x=2, ¼(1-2cos2x+cos 2 2x)+cos 2 2x =2, 5cos 2 2x -2cos2x-7=0. Пусть cos2x=t, тогда 5t 2 -2t-7=0, D=144, t 1= 1,4, t 2= -1, cos2x=-1 X= π/2 + πn, nZ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ И СЛЕДСТВИЙ ИЗ НИХ: sins+sin3 х+sin 5 х=0 cos 2 х+cos4 х –cos 3 х = 0 (sin 5X + sin х) + sin 3 х =0, 2sin3 хcos 2 х + sin 3 х = 0, sin 3 х (2cos 2 х+ 1) = 0, sin 3 х = 0 или 2cos 2 х + 1 = 0 3 х = πn, х = πn/3, n Zили cos 2 х = - 1/2, х = ± π/3 + πn, n Z Ответ: πn/3, ± π/3 + πn, n Z. ( cos 4 х+ cos 2 х) –cos 3 х = 0, 2cos 3 х cos х – cos 3 х = 0, cos 3 х (2cos х - 1) = 0, cos 3 х = 0 или 2cosх – 1 = 0; тогда х = π/6 + πn/3 или х=± π/3 + 2πn, n Z Ответ: х = π/6 + πn/3, х=± π/3 + 2πn, n Z

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ: 7 sin 2 х = 8sinscosх - cos 2 x 6 sin 2 х + 3sinXcosX - 2 cos 2 x = 3 7 sin 2 х - 8sin X cos X + cos 2 x = 0, 7 tg 2 x - 8tgX + 1 = 0. Пусть tgX = t, тогда 7 t 2 – 8t + 1 = 0 D= 9, t 1= 1, t 2= 1/7. tg X = 1, X =π/4 + πn, n Z. tgх = 1/7, х = arctg1/7+ πn, n Z Ответ: π/4+ πn, arctg1/4+ πn, n Z 3sin 2 х +3sinXcosX - 5cos 2 x = 0, 3 tg 2 x + 3 tgX – 5 = 0, D = 69, tgx =(69-3)/6, tgx= (69+3)/6, Ответ: X= arctg ((69-3)/6 ) + πn, n Z X = - arctg ((69+3)/6 ) + πn, n Z

ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ТРЕБУЮЩИХ ИСКУССТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию cos 2X + cos 5X =0,5 + cos 4X (* на cos X ) cos 2Xcos X + cos 5X cos X =0,5 cos X + cos 4Xcos X cos 2X 2cos X + cos 5X2cos X = cos X + cos 4X2cos X 2cos Xcos 2X + 2cos Xcos 5X – 2cos Xcos 4X = cos X cos X + cos 3X + cos 6X + cos 4X–(cos 3X + cos 5X)–cos X = 0 cos 3X + cos 6X + cos 4X – cos 3X – cos 5X = 0 cos 6X – cos 5X + cos 4X = 0, 2cos 5Xcos X – cos 5X = 0, cos 5X (2cos X – 1 ) = 0 cos 5X = 0 или 2cos X – 1 = 0. X = π/10 + πn/5, n Z ; X =π/3 + 2πn, n Z Ответ: X = π/10 + πn/5, n Z ; X =π/3 + 2πn, n Z

прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, одной и той же тригонометрической функции 4 – 4cos 2X – 1+cos 4X = 16 sin 6 x, 4–4cos2X + 2 cos 2 2x = 16 sin 6 x 2–4cos 2X + 2 cos 2 2x = 16 sin 6 x, -2cos 2X + cos 2 2x + 1 = 8sin 6 x, cos 2X ( cos 2X - 2 ) = 8 sin 6 x – 1 cos 2X ( cos 2X – 2 ) = ( 2 sin 2 x - 1 )( 4 sin 4 x + 2 sin 2 x + 1) cos 2X ( cos 2X – 2 ) =- cos 2X ( 4 sin 4 x + 2 sin 2 x + 1) cos 2X ( cos 2X – 2 ) + cos 2X( 4 sin 4 x + 2 sin 2 x + 1) = 0 cos 2X ( cos 2X – 2 + 4sin 4 x + 2sin 2 x + 1 ) = 0 cos 2X = 0 или sin 4 x = 0. X = π/4 + πn/2, n Z или X = πn, n Z Ответ: π/4 + πn/2, n Z или πn, n Z

тождественные преобразования одной из частей уравнения: sin 5X=-1/4 sinX (sin 5X-sin3X ) + ( sin 3X-sin X ) + sin X = -1/4sin X, 2cos 4Xsin X +2cos 2Xsin X + sin X + 1/4sin X = 0 sin X ( 2cos 4X + 2cos 2X +5/4 ) = 0. sin X= 0, X = πn, n Z или 2cos 4X +2cos 2X + 5/4 = 0, 2 ( 2 cos 2 2x – 1 ) + 2cos 2X +5/4 = 0, 4 cos 2 2x + 2cos 2X – 2 + 5/4 = 0, 4 cos 2 2x + 2cos 2X – 3/4 =0 16 cos 2 2x + 8cos 2X -3 = 0. Пустьcos 2X= t,тогда 16 t 2 + 8t –3 = 0, D= 64, t 1 = 1/4, t 2 =-3/4 cos 2X = 1/4, cos 2X = -3/4. X = ± 0,5arccos1/4 + πn, n Z, X = ± 0,5( π - arccos3/4) + πn/2, n Z Ответ: X = πn, ± 0,5arccos 1/4+ πn; ± 0,5( π - arccos3/4) + πn/2, n Z

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ