Формулы сокращённого умножения

Цель урока Познакомиться с формулами сокращённого умножения 1) (а + b) 2 = а аb + b 2 2) (а - b) 2 = а аb + b 2 3) (b –а ) 2 = а аb + b 2 4) (-а - b) 2 = а аb + b 2

Задачи урока: Вывести формулы сокращённого умножения Рассмотреть их применение при возведении в квадрат суммы или разности выражений Выработать навыки возведения в квадрат двучлена преобразуя его в многочлен стандартного вида Развивать логическое мышление и устный счёт Рассмотреть проблемную ситуацию для перехода к теме Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Ход урока Устная работа Задание 1. Представьте в виде произведения и вычислите : 3², 7², 9². а) 3², 7², 9². 3² = 3·3 = 9 ; 7² = 7·7 =…; 9² = …. 11², 25², 77². б) 11², 25², 77². 11² = 11·11 = 121 ; 25² = 25·25 = … ; 77² =…. ) 103², 292², 195². в) 103², 292², 195². 103² =…; 292² =…; 195² =….

Устная работа Задание 2. Представьте в виде произведения и раскройте скобки : а) ( 5 – а )²; б) ( x + 10 )²; в) ( y – 7 )²; г) ( 9 + z )². в) ( y – 7 )²; г) ( 9 + z )². а) ( 5 – а )² = ( 5 – а ) · ( 5 – а ) = = 25 – 5 а – 5a + а² = 25 – 10 а + а² ; б) ( x + 10 )² = ( x + 10 ) · ( x + 10 ) = = х² + 10 х +10x = х² + 20 х ; в)( y – 7 )² = ( y – 7 ) · ( y – 7 ) = = y² – 7y – 7 у + 49 = … ; г) ( 9 + z )² = ( 9 + z ) · ( 9 + z ) = ….

Устная работа Задание 3. Представьте в виде произведения и вычислите : 199² а) 199² = ( 200 – 1 ) ( 200 – 1 ) = = 200² – ² = = – = ; 702² б) 702² = ( ) ( ) = = 700² ² = = =... ; 999² в) 999² = ( 1000 – 1 ) ( 1000 – 1 ) =… ; 10,5² г) 10,5² =….

Объяснение нового материала Мы выполнили ряд примеров, в которых, чтобы возвести в квадрат число или двучлен, раскрывали скобки, выполняя умножение. 702² = ( )·( ) = = 700² ² = = =

Заметьте, что в каждом примере второго задания умножаются одинаковые двучлены и в результате из четырёх слагаемых два являются квадратами одночленов, а два их произведениями. Причем, удвоенное произведение удвоенное произведение имеет знак двучлена ( + или - ) ( y – 7 )² = ( y – 7 )·( y – 7 ) = y²– 7y – 7 у + 7² = y²– 2·7y + 7² = y²– 14y + 49 Объяснение нового материала

Итак, если двучленом является сумма или разность одночленов, то можно сформулировать правила возведения их в квадрат. Квадрат суммы двух одночленов равен сумме их квадратов плюс их удвоенное произведение (а + b)² = a² + b² + 2ab = a² + 2ab +b² Квадрат суммы двух одночленов равен сумме их квадратов плюс их удвоенное произведение (а + b)² = a² + b² + 2ab = a² + 2ab +b² Квадрат разности двух одночленов равен сумме их квадратов минус их удвоенное произведение Квадрат разности двух одночленов равен сумме их квадратов минус их удвоенное произведение (а - b)² = a² + b² - 2ab = a² - 2ab +b² (а - b)² = a² + b² - 2ab = a² - 2ab +b²

Объяснение нового материала Эти тождества называются формулами сокращённого умножения формулами сокращённого умножения и если их запомнить, то можно с успехом использовать при возведении в квадрат суммы или разности двух выражений. (b –a)² = (a – b)² (- a –b)² = (a + b)²(-а )² = а² При использовании этих формул нужно знать, что (b –a)² = (a – b)² и (- a –b)² = (a + b)², так как (-а )² = а². Это можно проверить умножением двучленов при раскрытии скобок.

Вывод формул Запомните ! ( а + b )² - квадрат суммы ( а + b )² - квадрат суммы двух выражений представим в виде произведения и раскроем скобки, выполнив умножение двучлена (а + b) на себя, приведём подобные слагаемые и получим многочлен стандартного вида а² + 2 а b + b² а² + 2 а b + b² ( а + b )² = ( а + b )·( а + b ) = а² + а b + а b + b² = а² + 2 а b + b² Сократим запись! = а² + 2 а b + b² Сократим запись! ( + )² = ( )² + 2· · + ( )² ( + )² = ( )² + 2· · + ( )² Перерисуйте схему в тетрадь !

Вывод формул ( b – а )² - квадрат разности ( b – а )² - квадрат разности двух выражений представим в виде произведения и раскроем скобки, выполнив умножение двучлена ( b – а ) на себя, приведём подобные слагаемые и получим многочлен стандартного вида а² - 2 а b + b² а² - 2 а b + b² ( b – а )² = (b – а)·(b – а) = b² - а b - а b + а² = =b² - 2 а b + а² = а² - 2 а b + b² =b² - 2 а b + а² = а² - 2 а b + b² Так как, от перемены мест слагаемых значение суммы не изменяется, видно, что (b –a)² = (a – b)²

Вывод формул (- а – b )² - квадрат разности (- а – b )² - квадрат разности двух выражений представим в виде произведения и раскроем скобки, выполнив умножение двучлена (- а - b) на себя, приведём подобные слагаемые и получим а² + 2 а b + b² многочлен стандартного вида а² + 2 а b + b² (- а – b )² = (- а – b )·(- а – b ) = = (- а)² + а b + а b + b² = а² + 2 а b + b², так как (- а )² = (-а )·(-а ) = а² так как (- а )² = (-а )·(-а ) = а² Следовательно, (- a –b)² = (a + b)² = а² + 2 а b + b² Выучите эти формулы и учитесь их правильно читать ! (см. учебник стр.65 )

Применение на практике Отмечу, что на этих формулах основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Что мы и попытались сделать в начале урока. 103² = ( )² = 100² + 2·100·3 + 2² = = = ² = ( )² = 300² - 2·300·8+ 8² = = = = = 94864

Применение на практике Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5. Приведём пример: 85² = (80 + 5)² =80² +2·80·5 + 5² = 80·( ) + 25 = 80· = = ² = Заметьте, что для вычисления 85² достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично поступаем и в других случаях. Например, 105² = (10·11 =110 и к полученному результату приписали справа 25 ).

Применение на практике При использовании формул квадрата суммы и квадрата разности для раскрытия скобок в упрощении выражений, необходимо твердо установить какая формула используется и привести сумму или разность, возводимую в квадрат в соответствие с формулой. Например : а) (-3 а + 5x)² = (5x – 3a)² = = (5x)² - 2·5x·3a +(3a)² = 25x² – 30ax +9a² = (5x)² - 2·5x·3a +(3a)² = 25x² – 30ax +9a² б) (-1,5x – 4,5y)² = (1,5x+4,5y)² = = (1,5x)² + 2·1,5x·4,5y + (4,5y)² = … = (1,5x)² + 2·1,5x·4,5y + (4,5y)² = …

Физминутка

Практикум (1 уровень) А теперь попробуйте использовать полученные знания, выполнив в тетради задания по образцу : Задание 4. Используя формулы, раскройте скобки: Образец: а) (c + d)² = c² + 2cd + d² б) (m – n)² = m² - 2mn + n² б) (m – n)² = m² - 2mn + n² в) (c + 8)² = c² +2·c·8 + 8² = c² + 16c + 64 в) (c + 8)² = c² +2·c·8 + 8² = c² + 16c + 64 г) (12 – p)² = 12² – 2·12 · p + p² = 144 – 24p + p² г) (12 – p)² = 12² – 2·12 · p + p² = 144 – 24p + p² Выполните самостоятельно: а) (a + x)² = б) (b – y)² = в) (9 + b)² = г) (a – 5)² = в) (9 + b)² = г) (a – 5)² =

Практикум (1 уровень) Задание 5. Раскройте скобки: а) (- n + 8)² = (8 – n)² = 8² –2·8·n+ n² =64 –16n+ n² Образец : а) (- n + 8)² = (8 – n)² = 8² –2·8·n+ n² =64 –16n+ n² б)(- m – 10)² = (m + 10)² = m² +2·m·10+10² = б)(- m – 10)² = (m + 10)² = m² +2·m·10+10² = = m² + 20m = m² + 20m в) (- 3a + 5x)² = (5x – 3a)² = (5x)² – 2·5x·3a + (3a)² = в) (- 3a + 5x)² = (5x – 3a)² = (5x)² – 2·5x·3a + (3a)² = = 25x² – 30ax + 9a² = 25x² – 30ax + 9a² г) (- 6y – 2z)² = (6y + 2z)² = (6y)² + 2·6y·2z + (2z)² = г) (- 6y – 2z)² = (6y + 2z)² = (6y)² + 2·6y·2z + (2z)² = = 36y² + 24yz + 4z² = 36y² + 24yz + 4z² а) (-x + 1)² = Выполните самостоятельно: а) (-x + 1)² = б) (-z – 3)² = в) (-3n + 4v)² = г) (-12z – 3t)² = б) (-z – 3)² = в) (-3n + 4v)² = г) (-12z – 3t)² =

Практикум (2 уровень) Задание 6. Используя формулы, раскройте скобки : Образец : Выполните самостоятельно: а) б) в)

Практикум (2 уровень) Задание 7. Используя формулы квадрата суммы и квадрата разности, вычислите: Образец : Выполните самостоятельно: а) б) в) При решении можно использовать таблицу квадратов ( справочник стр. 179 )

Проверьте себя Правильные ответы: Устная работа 121; 625; Задание 1. б) 121; 625; в) 11609; ; ; в) 11609; ; ; в) y² – 14y + 49 г) z + z² Задание 2. в) y² – 14y + 49 г) z + z² б) в) г) 110,25 Задание 3. б) в) г) 110,25

Проверьте себя Применение на практике: б) 2,25x² +13,5x y+20,25y² Практикум Задание 4. а) a² +2ax +x² б) b² – 2by + y² в) b + b² г) a² – 10a + 25 Задание 5. а) 1 – 2x +x² б) z² + 6z + 9 в) 16v ² -24nv + 9n² г) 144z² + 72tz + 9t²

Проверьте себя Правильные ответы: Задание 6. а) б) в) Задание 7. а) б) в)

Рефлексия А теперь, ребята, я предлагаю вам ответить на вопрос: Можете ли вы применить полученные знания при выполнении заданий такого вида : Задание 1. Разложите на множители : а) m² + 2mk + k² ; б) a² - 10a + 25 ; Задание 2. Решите уравнение : а) 25 – 10a + a² = 0 ; б) x² – 6x + 9 = 0 ; Задание 3. Сократите дробь : ?

Ребята, понравился ли вам урок? Чем конкретно ? Какие моменты урока вызвали у вас затруднения ? 180. Итак, сегодня на уроке вы познакомились с двумя формулами сокращенного умножения. Если вы заинтересовались, то остальные формулы можно найти в справочнике на странице , Домашнее задание : задачник - страница 73, Рефлексия

Список литературы : 1. Генденштейн Л.Э. Наглядный справочник по математике с примерами – М.: Илекса, Гельфман Э.Г. Тождества сокращённого умножения – Томск : Издательство Томского университета, Зильберберг Н.И. Алгебра-8 – Псков: Издательство Псковского областного института усовершенствования учителей, Мордкович А.Г. Алгебра-7 (учебник) – М.: Мнемозина, Мордкович А.Г. Алгебра-7 (задачник) – М.: Мнемозина, 2005.