Решение алгебраических уравнений Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Повторение Решить уравнение: показать

показать Разложить на множители многочлен: 1. х² + х 12 =( х + 4)( х 3); 2. 3 х² + 5 х 2 =3( х + 2)( х ) =( х + 2)( 3 х 1); 3. 2 х³ 5 х² 3 х =х( 2 х² 5 х 3) =х 2( х + ½)( х 3)= = х( 2 х + 1)( х 3); 4. ( х² + 1)( х² 9) = = ( х² + 1)( х 3)(х + 3). Повторение

Задача. Решить уравнение х³ 7 х + 6 = 0. Решение. 1) Подберём корень уравнения: х = 1: 1³ = 0 верно. 2) Разделим : х³ 7 х + 6 на х 1 х³ 7 х + 6 х 1 х² х³ х² х² 7 х + х х² х 6 х ) Перепишем уравнение х³ 7 х + 6 = 0 в виде (х 1) (х² + х 6) = 0 и решим его: х 1 = 0 или х² + х 6 = 0, откуда х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = 3. Ответ: 1, 2, 3.

Уравнение х³ 7 х + 6 = 0 называют алгебраическим уравнением третьей степени или кубическим уравнением. Алгебраическим уравнением степени n называется уравнение Рn ( х ) = 0, где Рn ( х ) многочлен степени n 1. Каждый корень уравнения Рn ( х ) = 0 называют нулём или корнем многочлена Рn ( х ). 1, 2, 3 нули многочлена Р 3 ( х ) = х³ 7 х + 6

В уравнении х³ 7 х + 6 = 0 корни 1, 2, 3 являются делителями свободного члена 6 этого уравнения. Вывод: целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, (если они есть), нужно искать только среди делителей свободного члена этого уравнения. Этот вывод подтверждает теорема 1: если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

10 (1). Решить уравнение х³ х² 8 х + 6 = 0. Решение. 1) Р(х) = х³ х² 8 х ) Делители 6: ±1; ± 2; ± 3; ± 6. 3) Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= ; Р(6)= ; Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= = 0; Р(6)= целый корень уравнения 4) х³ х² 8 х + 6 х 3 х² х³ 3 х² 2 х² 8 х + 2 х 2 х² 6 х 2 х х + 6 5) Найдём другие корни: х² + 2 х 2 = 0, D 1 = = 3; х = 1 ± Ответ: 3; 1 ±

10 (3). Решить уравнение 6 х³ + 11 х² 3 х 2 = 0. Решение. 1) Р(х) = 6 х³ + 11 х² 3 х 2. 2) Делители ( 2) : ±1; ± 2. 3) Р(1)= ; Р(1)= ; Р(2)= = 0; Р(2)= ; 4) 6 х³ + 11 х² 3 х 2 х х²6 х³ + 12 х² х² 3 х х х² 2 х х ) Другие корни уравнения: 6 х² х 1 = 0, D = = 25; х 1 = ; х 2 = ½. Ответ: 2; ; ½. 2 целый корень уравнения

11 (1). Решить уравнениех³ 5 х² + 8 х 6 = 0. Решение. 1) Р(х) = х³ 5 х² + 8 х 6. 2) Делители ( 6) : ±1; ± 2; ± 3; ± 6. 3) Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= ; Р(6)= ; Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= = 0; Р(6)= ) х³ 5 х² + 8 х 6 х 3 х² х³ 3 х² 2 х² + 8 х 2 х 2 х² + 6 х 2 х х 6 5) Другие корни: х² 2 х + 2 = 0, D 1 = 1 2 = 1; других корней нет. Ответ: 3. 3 целый корень уравнения

11 (2). Решить уравнение 9 х³ + 12 х² 10 х + 4 = 0. Решение. 1) Р(х) = 9 х³ + 12 х² 10 х ) Делители 4: ±1; ± 2; ± 4. 3) Р(1)= ; Р(2)= = 0; Р(4)= ; Р(1)= ; Р(2)= ; Р(4)= ) 9 х³ + 12 х² 10 х + 4 х х² 9 х³ + 18 х² 6 х² 10 х 6 х 6 х² 12 х 2 х х + 4 5) Другие корни: 9 х² 6 х + 2 = 0, D 1 = 9 18 = 9; других корней нет. Ответ: 2. 2 целый корень уравнения

12 (4). Разложить на множители многочлен Решение. 2) Р(1) = = 0; Р(5) = ; Р(1) = ; Р(5) = = 0. 3) 1 и 5 целые корни многочлена и (х + 1)(х 5) = х² 4 х 5, тогда Делители 5: ±1; ± 5.

х² + 2 х 1 0 5) Другие корни: х = 1 ± х² + 2 х 1 = 0, D 1 = = 2;

13 (1). Сократить дробь Решение. 1) Р (х) = х³ + 2 х² + 9. Делители 9: ±1; ±3; ± 9. Р(1) 0; Р(3) 0;Р(9) 0;Р(9) 0. Р(3) = = 0; 3 целый корень многочлена Р (х) х³ + 2 х² + 9 х³ 2 х² + 4 х 3 х³ + 2 х² + 9 х + 3 х² х³ + 3 х² х² + 9 х х² 3 х 3 х х Другие корни: х² х + 3 = 0, D = 1 12 = 11; других корней нет. Р (х) = х³ + 2 х² + 9 = (х + 3)(х² х + 3 ).

2) Q (х) = х³ 2 х² + 4 х 3. Делители (3): ±1; ± 3. Q(1) 0;Q(1) = 0;Q(3) 0;Q(3) 0. 1 целый корень многочлена Q (х). х³ 2 х² + 4 х 3 х 1 х² х³ 2 х² х х² + 4 х х² + х 3 х х 3 0 Q (х) = х³ 2 х² + 4 х 3 = (х 1)(х² х + 3 ). Р (х) Q (х) = (х + 3)(х² х + 3 ) (х 1)(х² х + 3 ) = х 1 х + 3.

показать 13 (3). Сократить дробь Решение. Итак, = (х 2)(х + 1)( х ² х + 1).

Делители (6): ±1; ±2; ±3; ± 6.Q(1) = 0;Q(1) 0; Q(2) 0;Q(2) = 0;Q(3) 0; Q(6) 0;Q(6) 0. 1 и 2 целые корни многочлена и (х + 1)(х 2) = х² х 2, тогда Р (х) Q (х) = (х 2)(х + 1)( х ² х + 1) (х + 1)(х 2)( 2 х ² х + 3) = = х ² х х ² х + 3.

15***. Уравнение ах³ 2 х² 5 х + b = 0 имеет корни х 1 = 1, х 2 = 2. Найти а, b и третий корень уравнения. Решение. 1) х 1 = 1, х 2 = 2 корни уравнения, значит: при х 1 = 1: а b = 0, откуда а = 7 b. при х 2 = 2 : 8 а b = 0, откуда b = 8 а 2. Тогда а = 7 8 а + 2, 9 а = 9, а = 1, b = 6 и уравнение принимает вид : х³ 2 х² 5 х + 6 = 0. х³ 2 х² 5 х + 6 разделим на (х 1 )(х 2 ) = (х 1)(х+2) (х 1)(х + 2) = х² + х 2, чтобы найти третий корень уравнения.

х³ 2 х² 5 х + 6 х² + х 2 х х³ + х² 2 х 3 х² 3 х х 3 = 0, х = 3. Ответ: а = 1, b = 6; х 3 = 1

Решение алгебраических уравнений, взятых из сборника заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе (авт. Л. В. Кузнецова и др.).

х² 3 х + 2 х² + 3 х 18 0 Другие корни: х² + 3 х 18 = 0; х 3 = 6, х 4 = 3. Ответ: 1; 2; 6; (4 балла) Решите уравнение: 1) Решение. Заметим, при х = 1 и х = 2 левая часть уравнения равна 0, тогда х 1 = 1, х 2 = 2 корни уравн. Разделим многочлен на произведение (х 1)(х 2) =х² 3 х + 2:

2.23 (4 балла) Решите уравнение: 1) Решение. Перепишем уравнение: Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю (другие при этом существуют). 1) х 1 = 0; пусть х² = а тогда а² 9 а + 20 = 0, где а 1 = 4; а 2 = 5. Получаем: х ² = 4, тогда х 2 = 2, х 3 = 2; х ² = 5, тогда Ответ: 0; ± 2;

Интересные факты, связанные с решением алгебраических уравнений. Рассмотрен простой способ решения уравнений с помощью разложения многочленов на множители. Это можно сделать, если удастся найти некоторые корни уравнения. Но, есть два главных вопроса: 2) Как его найти? 1) всегда ли алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень?

Эти трудные вопросы рассматриваются в специальном разделе математики «Высшая алгебра». Основной теоремой высшей алгебры является следующая теорема. Теорема 2. На множестве комплексных чисел любое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень. Напомним, о появлении комплексных чисел: среди известных действительных чисел не оказалось числа, квадрат которого равен минус единице. Пришлось расширить множество действительных чисел, добавив к ним число i, которое назвали мнимой единицей. Итак, i ² = 1.

Числа, полученные умножением ранее известных чисел на мнимую единицу, например, 5 i или i, стали называть мнимыми, а суммы действительных и мнимых чисел, таких как i, 7 i +14, 8 3 i, стали называть комплексными числами. На протяжении многих веков выдающиеся математики развивали теорию решения алгебраических уравнений. Одним из первых основную теорему высшей алгебры сформулировал в 1629 г голландский математик Альбер Жирар, но первое строгое доказательство дал лишь в 1799 г немецкий математик Карл Гаусс. Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в книге «Арифметика» греческого математика Диофанта в III в.

Формулы корней кубического уравнения впервые опубликованы в 1545 г итальянским математиком Джероламо Кардано. В том же 1545 г другим итальянским математиком Лудовико Феррари был найден способ решения уравнений 4-й степени. Однако практически найти хотя бы один корень любого алгебраического уравнения удаётся чрезвычайно редко. Более того, доказано, что в общем случае нет и не может быть способа нахождения хотя бы одного корня алгебраического уравнения, несмотря на то, что по теореме 2 такой корень существует.

Нами был рассмотрен простой способ решения уравнений с помощью разложения многочленов на множители. Для этого приходилось делить многочлен на двучлен х а. Схема Горнера. Существенно сократить и упростить вычисления помогает один несложный приём сокращённого деления, называемый схемой Горнера (Горнер Вильямс Джордж английский математик ). Покажем его практическое применение на конкретном примере.

Многочлен х³ х² 8 х + 6 1) разделить на х 3; 2) представить в виде произведения В n первых клетках второй её строки мы получаем коэффициенты частного, расположенные в порядке убывания степеней х; в (n + 1) - й клетке получаем остаток от деления. х³ х² 8 х + 6 = (х 3) (х² + 2 х 2). а 1 а 1 b2b2 а 2 а 2 а 3 а 3 а 0 а 0 b1b1 b0b0 R Построенная таблица и называется схемой Горнера.

Схема Горнера. 1. В верхней строке таблицы записываем коэффициенты при х, располагая их в порядке убывания степеней, если соответствующая порядку степень отсутствует, то соответствующий коэффициент равен Перед таблице записываем известный целый корень многочлена. 3. Нижнюю строку таблицы заполняем по правилу: а) значение первого коэффициента переписываем; б) в каждой следующей клетке записываем число, равное сумме коэффициента, стоящего над ним и произведения числа, расположенного перед таблицей, на число находящееся в соседней слева клетке.