14 (исследование функции ЕГЭ 2012) Соловьёв Леонид Максимович, Соловьёва Галина Николаевна, учителя математики МОУ «СОШ 3» г. Анжеро-Судженск Кемеровской области 2011 г. Открытый банк заданий ЕГЭ по математике (

ОДЗ у(х) Производная у(х) Уравнение у(х) = 0 На числовой прямой Х Общий алгоритм решения: Значения функции на концах отрезка и в точках отрезка ИЛИ с помощью производной (правила и действия дифференцирования) - знаки производной - монотонность - точка экстремума - наибольшее (наименьшее) значение функции без производной 2 Аналогичное будет на ЕГЭ

Найдите точку минимума функции ОДЗ у(х) Производная у(х) Уравнение у(х) = 0 (- ; + ) y(x) = 3 x² x² x²- 192 = 0 | : 3 3 x²- 64 = 0 x² = 64 X = На числовой прямой Х (х – 8) (х + 8) к методу интервалов ////////////// ////////// /////////////////////// знаки у(х) + + – монотонность у(х) 8 – ответ Общий алгоритм решения: х 3

Найдите наибольшее значение функции на отрезке ОДЗ у(х) Производная у(х) Уравнение у(х) = 0 Значения функции на концах отрезка… Общий алгоритм решения: = x x = 3 2 x x 3 2 y = + 9x + 14 [0; + ) y(x) = x = x x = 0, x 1 2 = - 9 x 1 2 = 9 (-1) ( ) ² ² Х = 81 є [ 77; 83] Y ( 77 ) = Y ( 81 ) = Y ( 83 ) = 257 наибольшее ! ? ? 4

/////////// //////////////// Найдите точку минимума функции Найдите наименьшее значение функции на отрезке у = (х² + 6 х + 9) (х + 5) - 1 Преобразуем функцию (квадрат суммы) (раскрыть скобки, подобные) у = х³ + 11 х² + 39 х + 44 у = ((х + 3)²) (х + 5) - 1 = + (х + 3)² (х + 5) = 1 2(х + 3) (х + 5)+ (х + 3)² = = 2(х² + 8 х + 15) + (х² + 6 х + 9) у = 3 х² + 22 х + 39 ОДЗ (-; +) Производная у = 3 х² + 22 х + 39 Уравнение у = 0 Х = K х (схематически парабола) Знаки у + + монотонность функции Х = -3 Значения функции на концах отрезка и точках отрезка: производная произведения (f(kx + b)) = kf(kx + b) K А если так ? Производная функции (действия и правила дифференцирования) На числовой прямой Х y(-4) = y(-1) = y(-3) = Подставим Иначе: на отрезке [-4;-1] y(-3) = 1 Сравните условия и задание. Алгоритмы решения. Приёмы решения Находим у 2. Решаем у = 0, Х = -3 Є [-4; -1] На числовой прямой Х Парабола у монотонность функции Отрезок [-4;-1] -4 /////////// //////////////// х Знаки у

( f ( k x + b) ) = k f ( k x + b), т. к. ( k x + b) = k Х Х Правило Внимание! - сложная функция y = 3 X X содержит в себе квадратичную y = 3 X ln3 Если Производная y = 3 К исходному х - х² ln3 ( х - х²) = х - х² ln3 (- 6 – 2 х). y = (- 6 – 2 х) х - х² ln3 ( f (p(x)) ) = f ( p(х) ) p(x) Производная сложной функции (Х))(Х)) Х (Х) применение формулы на конкретном примере (пошаговая технология) Найдите производную функции y = 10 ln(9 – x) – 10x + 1 y = -10(x - 10) x – 9 -10(x + 10) x – 9 у = 10 9 – х 1 (9 – х) –10 = (ln x) = 1 – x формула 9 – х = = ответ Для тренировки. Выполнив самостоятельно, кликнуть ответ 9 – х 10 9 – х 10 (9 – х) = 9 – х 10 х 100 = 9 – х 10(х 10) = Решение (пошаговое технология применения формулы) - ЗАКРЕПЛЕНИЕ 6

? Знак у Не требуется Найдите точку максимума функции (- ; + ) y =11 6x - x² (6x - x²) = ln11 =11 6x - x² (6 – 2x) ln11 6x - x² y = 11 6x - x² (6 – 2x) ln ////////////// монотонность 3 точка максимума Для убедительности 1. ОДЗ 2. Производная функции 3. Решение уравнения у = 0 4. Знаки производной, монотонность функции 5. Значение функции План – алгоритм Решения 11 (6 – 2x) ln11 = 0 6 – 2x = 0, X = Точка единственная – это и будет ответ (а ) = х = а ln a x «шпора» 7

t – 2(1 + х) < 0 при х > - 1 /////////////// (log x)= a = 1 xln a «шпора» У = (4 – 2 х - х²)ln5 – 2(1 + х) > 0 при х < - 1 Знаки на ОДЗ Для убедительности: ОДЗ 2. Производная функции 3. Решение уравнения у = 0 4. Знаки производной, монотонность функции 5. Значение функции ИТОГ - ОБОБЩЕНИЕ /////////////// Найдите наибольшее значение функции 1 (4 – 2 х - х²)ln5 (4 – 2 х - х²) = = = 0, (4 – 2 х - х²)ln5 – 2 – 2 х (4 – 2 х - х²)ln5 – 2(1 + х) D = 4 – 4(- 1)4 = 20, X = -1 ± 5 X = – 2 х – х² > 0> 0 ОДЗ: y = logt t > на ОДЗ в точке X = - 1 Находим у(-1) 1 y(-1) = log У = - 1 /////////////// У Знаки Производная функции 4 монотонность набольшее функции Так как точка единственная, достаточно решения… ! 8

Найдите наибольшее значение функции t Функция y = log t - логарифмическая, - с основанием 5 > 1, возрастающая на ОДЗ D = 4 – 4(- 1)4 = 20, X = -1 ± 5 4 – 2 х – х² > 0> 0 ОДЗ: y = logt t > /////////////// наибольшее Х вершины = - b 2a = Парабола - схематически 3.3. К монотонности большему х большее t большему x меньшее t большему t большее y меньшему t меньшее y Находим у(-1) 1 y(-1) = 4. Сохраняет монотонность внутренней функции log5 9 Без производной

( X ) = 2 X 1 «шпора» Так как точка единственная, решения достаточно – 2 х ////// y = х - х² (5- 4 х- х²) = х - х² = = 2 - 2(х +2) = 0, х = -2, х 1, х ///////// -2-2 Знаки У на промежутках + ? число из промежутка + - У Знаки + - монотонность ! Найдите наибольшее значение функции ОДЗ 5 – 4 х - х² 0,D = 36,х² + 4x - 5 0, x = - 5,x = 1, -5 1 ///////// -5 1 ///////// У(- 2) = 3 1. ОДЗ 2. Производная функции 3. Решение уравнения у = 0 4. Знаки производной, монотонность функции 5. Значение функции План – алгоритм решения 10

Пробуйте, возможно решение проще, записав функцию y = 3x – 3ln(x+3) Ещё раз… ///////////// //////// //////////// Найдите наименьшее значение функции на отрезке ОДЗ у(х) Производная у(х) Уравнение у(х) = 0 На числовой прямой Х Общий алгоритм решения: (х + 3)³ > 0 х + 3> 0, х > – 1 (х + 3)³ ( (х + 3)³ ) = 3 – (х + 3)³ 3(х + 3)² = 3 – х = 0 3 – х – 3 = 0 3(х + 3) х + 3 = 0 3(х + 2) методом интервалов знаки у(х) + + – монотонность у(х) в точке х = -2 y(- 2) = - 6 ? Решения достаточно …. Х = -2 Х -3 Х = - 2 единственная на ОДЗ, в которой у(х) = 0 y(- 2) = ответ 11

[o; π/2] Найдите наименьшее значение функции на отрезке ОДЗ у(х) Производная у(х) Уравнение у(х) = 0 На числовой прямой Х Общий алгоритм решения: (- ; + ) y(x) = cos x cos x cos x = 0 : cos x = 0 cos x = выбор Х на отрезке [o; π/2] На единичной окружности х у 0 π /2 π /4 У(0) = У(π /4) = У(π /2) = 3-5π/ π / 4 – 52 наименьшее ответ С тригонометрическими функциями … [o; π/2] С = 0 12

Другой способ – графический, с помощью производной: 1 π -π-π 2π2π -2π 0 cos x = π 2 3π3π 2 3π3π 2 у у графики Слайд 12. π 2 у Отрезок [0; ] π 2 у π 4 cos x Раcсмотрим + графики выше ниже выше Знаки у(х) монотонность у(х) Наименьшее У π 4 ( ) = 2 [o; π/2] Найдите наименьшее значение функции на отрезке [o; π/2] y(x) = 25 cos x cos x = ( ) + y(x) = 0 13 разность отрицательна разность положительна

Найдите наибольшее значение функции на отрезке ОДЗ у(х) Производная у(х) Уравнение у(х) = 0 Общий алгоритм решения: (- ; + ) y(x) = На числовой прямой х Значения функции на концах отрезка… - 12sin x+ 6 – sin x + 6 – 3 C = sin x = - 6 – 3 : (-12) sin x = – 3 2 На единичной окружности х у π/2π/2 0 отрезок [0; π /2 ] выбор Х на [0; π /2 ] 3 2 – π/3π/3 У(0) = У(π /3 ) = У(π /2 ) = π + 6 = – π 3 – 3 = 12 6 – 3 π π + 6 = – 2 3 π + 6 – π – 3 π + 6 – Cos 0 = 1 Cos π /2 = 0 Cos π /3 = ½ 6 2 наибольшее на [0; π /2 ] 14 В бланк ответов у(0), у ( π/2) не идут Не надо сравнивать

наибольшее значение функции Найдите наибольшее значение функции y = 2cos x + x - на отрезке [o; ] 3 3 π 2 π 2 ОДЗ у(х) Производная у(х) Уравнение у(х) = 0 Значения функции на концах отрезка… Единичная окружность - Х (- ; + ) -2sin x sin x + 3 = 0 sin x = 3 2 x y R = 1 0 на ось ОУ 3 2 отрезок π 2 [0; ] π 2 0 π 3 y(0) = y( ) = π 2 y( ) = π π3 π 2 3 π 2 3 π3 π π 3 3 π3 π 2 = 0 ? ? наибольшее В 14 – демоверсия

Далее: выноси … Y = (x²+12x+36) e -4-x (uv) =uv + uv Y= (2x+12) e -4-x + (x²+12x+36) e -4-x (-4-x) Y = (2x+12) e -4-x (x²+12x+36) e -4-x 3 cos²x 3Y = = 3(1-cos²x) cos²x 0 очевидно Функция возрастает Наибольшее на [-5π/6; 0] Y(0) 24/π 7,… Найдите наибольшее значение функции на отрезке Найдите наибольшее значение функции на отрезке Найдите наименьшее значение функции на отрезке Y = -5cosx + 24/π cos x 1 y > 0 очевидно Функция возрастает Наибольшее на [-5π/6; 0] Y(0) 6 ; 5 ; Ключ

Из анализа заданий банка ЕГЭ и бланка ответов Найдитеточку максимума минимума Найдите наибольшее наименьшее значение функции: функции иррациональная показательная логарифмическая y = t y = a t (e ) t y = log a t (ln t) без отрезка Если из y = 0 Х – единственное, то при этом Х и будет ответ Достаточно: найти у. Решить у=0. и найти х или у(х) 17 Найдите наибольшее наименьшее значение функции: на отрезке при выборе ответа не берите во внимание значения функции Ответ: целое число или конечная десятичная дробь

Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке Найти точку максимума (минимума) функции 1)Найдите производную функции 2)Решите уравнение f (x) = 0 3)3) Выбрать корни уравнения f (x) = 0, принадлежащие данному отрезку 3)3) Корни уравнения f (x) = 0 из ОДЗ нанести на числовую прямую 4) Найти значения функции на концах отрезка и в точках, принадлежащих ему 4) Установить знак производной на на каждом промежутке, подставив число из промежутка то есть монотонность функции на на каждом промежутке 5) Выбрать ответ по условию задания Алгоритм – памятка ко всем В Решаем

х²х² х²х² 1 > 0> 0 х²х² х²х² 1 < 0< 0 (х-1) х²х² (х +1) < 0< 0 к методу интервалов метод интервалов монотонность | (-1) проверить X = X -1, 1,1, 0.0. (х² + 1) х (х² + 1) х х²х² = 2 х²2 х² х² х²х² 1 = х²х² х²х² 1 = у проверить … Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-10; -1] Найдите точку минимума функции у = х² + 25 х у = х² + 1 х 0 (- ; 0) U (0; + ) 1 Знаки У ////////////////// ////// /////// точка минимума функции числовая прямая Х = 1 проверить рисунок ответ ОДЗ У У =0 Почему «проскочили» 0, проводя кривую знаков производной? у = х² 25 х²х² Х = -5 Х = 5 Х 0 = 0 Є [-10; -1] Y min = Y(-1) = -26 Закрепление алгоритма Дробно – рациональная функция 19

(uv) Найдите точку минимума функции Найдите точку максимума функции Найдите наибольшее значение функции на отрезке Найдите наибольшее значение функции на отрезке Найдите наибольшее значение функции на отрезке Найдите точку минимума функции Найдите точку минимума функции Найдите точку максимума функции ̌ ̌ х – 10ln(x+6) (-37-x) 1 3 – х³ e -37-x в квадрат, ̌ ̌ Подсказки :

Найдите наибольшее значение функции Найдите наибольшее значение функции Найдите наименьшее значение функции на отрезке Найдите точку максимума функции Найдите наименьшее значение функции на отрезке Найдите точку минимума функции принадлежащую промежутку Найдите наибольшее значение функции на отрезке Найдите наименьшее значение функции на отрезке Найдите наименьшее значение функции на отрезке Найдите точку минимума функции ̌ ̌ ̌ 21 X 1/2 ̌ X u v – ( ) (uv) Подсказки :

22 Используемые ресурсы: В ?posMask=8192 Открытый банк заданий по математике (2012) О , Ключ