Основні поняття стереометрії Точка (А) А Площина (α) α Пряма (АВ або а) А В а А В Пряма АВ А В Відрізок АВ А В Промінь АВ

Поняття та зображення площини Площину зображають так: α або так: β

α А В Площина, так само як і пряма, є нескінченною: Зверніть увагу!!!

Площину можна провести: 1)Через будь-які 3 точки, що не лежать на одній прямій: α А В С 2) Через пряму і точку, що не лежить на ній α А В С 3) Через дві прямі, що перетинаються α А В С (Див. підручник, с. 11) Цю площину α можна позначати так: (АВС)

Властивість паралельних прямих на площині: Через точку, що не лежить на прямій, можна провести пряму, яка паралельна даній, і тільки одну. α a А Взаємне розташування двох прямих на площині α α Якщо дві прямі лежать у площині, то вони між собою: або перетинаються, або паралельні (a||b) a b a b b

Взаємне розташування двох прямих у просторі Якщо дві прямі лежать в одній площині, то вони або перетинаються, або паралельні. Дві прямі, які не лежать в одній площині, називають мимобіжними α ab А с Прямі a і c не лежать в одній площині і тому є мимобіжними. Вони не перетинаються, але й не паралельні. Дві прямі у просторі Лежать в одній площині Не лежать в одній площині

Взаємне розташування двох прямих у просторі Дві прямі у просторі Паралельні (лежать в одній площині) Ті, що перетинаються (лежать в одній площині) Мимобіжні (не лежать в одній площині) α a b α a b α ab А с Два відрізки або промені називають паралельними, якщо вони лежать на паралельних прямих.

α Теореми про паралельні прямі 3 Через будь-яку точку простору, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну. Властивість паралельних прямих на площині (аксіома з 7 класу): Через точку, що не лежить на прямій, можна провести пряму, яка паралельна даній, і тільки одну. Дано: пряма а, точка А є а. Довести: 1) через а можна провести b||a; 2) ця пряма b буде єдиною. Доведення 1) Через пряму а і точку А можна провести єдину площину(теорема 1). 2) У цій площині можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну (проводимо пряму b). a А Отже, у просторі можна провести одну пряму, паралельну даній. 4 Дві прямі, паралельні третій, паралельні.

Виконання вправ Дано зображення куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. а) чи перетинаються прямі АА1 та ВВ1? А1В1 і D1C1? Як називаються ці прямі? б) чи перетинаються прямі AD і BB1? Як називаються ці прямі? в) чи можна провести площину через прямі AD і DB1? A1D1 i C1D1? AD i BB1? AA1 i DB1? AA1 i DD1? А В С D А1А1 В1В1 С1С1 D1

Виконання вправ Задача Прямі AB і CD паралельні. Чи можуть бути мимобіжними прямі AC і BD? А чи можуть вони перетинатись? Розвязання Якщо AB||CD, то прямі AB і CD лежать в одній площині, значить, і точки A, B, C, D лежать в одній площині. Отже, прямі AC і BD також лежать в одній площині, а значить, можуть перетинатися, але не можуть бути мимобіжними. Задача Прямі AB і CD мимобіжні. Чи можуть бути паралельними прямі AC і BD? А чи можуть вони перетинатись? Розвязання Якщо б могло бути, що AC||BD або AC перетинала BD, то точки A, B, C, D лежали б в одній площині, а цього бути не може, тому що суперечить умові задачі. Отже, прямі AC і BD не можуть бути ні паралельними, ні перетинатись.

Домашнє завдання Підручник, п. 4 вчити теореми, 47, 48, 53 довести.