НЕМОЖЛИВІ ПОБУДОВИ ТА НЕРОЗВЯЗАНІ ЗАДАЧІ Виконав Учень 10 класу СЗШ 7 м. Львова Стахів Григорій

Мауріц Корнеліс Ешер Голландський художник. Відомий перш за все своїми концептуальними літографіями, гравюрами на дереві й металі, в яких він майстерно досліджував пластичні аспекти понять нескінченності і симетрії, а також особливості психологічного сприйняття складних тривимірних об'єктів створював дивні геометричні композиції. На деяких із них зображено будівлі, які на погляд виглядають цілком нормальними, але побудувати їх у реальному житті неможливо.

Одні із цікавих робіт Ешнера Літографія Водоспад Спускаючись і піднімаючись

Куб Ешера

Можливі та неможливі побудови Всі побудови є нічим іншим, як розв'язком якого-небудь рівняння, причому коефіцієнти цього рівняння пов'язані з довжинами заданих відрізків. Тому зручно говорити про побудову числа графічного розв'язку рівняння визначеного типу. В рамках вищеокреслених вимог, можливі такі побудови: Побудова розв'язків лінійних рівнянь. Побудова розв'язків квадратних рівнянь. Інакше кажучи, можливо побудувати лише числа рівні арифметичним виразам з використанням квадратного кореня з вихідних чисел (довжин відрізків). Наприклад, Якщо задано тільки відрізок довжини 1, то неможливо представити в такому вигляді (звідси неможливість подвоєння куба). Можливість побудувати правильний 17-кутник випливає з виразу на косинус кута:

Нерозвязані задачі на побудову Ще в античності були поставлені такі три задачі на побудову: Трисекція кута розбити довільний кут на три рівні частини. Подвоєння куба побудувати відрізок, що є ребром куба вдвічі більшого об'єму, ніж куб з даним ребром. Квадратура круга побудувати квадрат, рівний за площею даному кругу.

Трисекція кута Трисекція кута задача про поділ заданого кута на три рівні частини за допомогою циркуля та лінійки. Інакше кажучи, необхідно побудувати трисектриси кута промені, що ділять кут на три рівні частини. Поруч із задачами про квадратуру круга та подвоєння куба є однією з класичних задач на побудову, відомих з часів стародавньої Греції. П'єр Лоран Ванцель у 1837 році довів, що задача розв'язна тільки тоді, коли розв'язне в квадратних радикалах рівняння: Наприклад, трисекція здійсненна для кутів α = 360°/n при умові, що ціле n не ділиться на 3. Тим не менш, в пресі час від часу публікуються (хибні) способи здійснення трисекції кута циркулем та лінійкою.

Подвоєння куба Легенда Згідно з античною легендою, одного разу на острові Делос почалася епідемія чуми. Мешканці острова звернулись до дельфійського оракула, і той повідомив, що необхідно подвоїти жертовне святилище, яке мало форму куба. Мешканці Делоса спорудили ще один такий же куб та поставили його на перший, але епідемія не припинилася. Після повторного звернення оракул роз'яснив, що подвоєний жертовник також повинен мати форму куба. З того часу дельфійською задачею займались найкращі математики античного світу, було запропоновано декілька розв'язків, але ніхто не зміг виконати таку побудову, використовуючи тільки циркуль та лінійку.

Подвоєння куба - класична антична задача на побудову циркулем та лінійкою ребра куба, об'єм якого вдвічі більший за об'єм заданого куба. Разом з трисекцією кута та квадратурою круга, є однією з найвідоміших нерозв'язних задач на побудову за допомогою циркуля та лінійки.

Квадратура круга Квадратура круга задача, що полягає в знаходженні побудови за допомогою циркуля та лінійки квадрата, рівновеликого за площею до даного круга.

Метафора «Квадратура круга» Математичне доведення неможливості квадратури круга не заважало багатьом ентузіастам втрачати роки на розв'язання проблеми. Марність досліджень з розв'язання задачі квадратури круга перенесла цей вираз у багато інших галузей, де він просто позначає безнадійне, безглузде або марне починання.

Виконав учень 10 класу СЗШ 7 м. Львова Стахів Григорій