Выполнил: ученик 10В класса школы 30 г. Новоалтайска Барсов Дмитрий Проверил: учитель математики Мартюшова Валентина Алексеевна

Исследование функций с помощью производной позволяет более точно строить их графики, которые применяются для решения многих алгебраических задач. Исследование функции и построение графика

Схема исследования функции Область определения Чётность, нечётность Периодичность Точки пересечения графика с осями координат Промежутки знакопостоянства Монотонность Точки экстремума и значения f в этих точках Наибольшее и наименьшее значение f Вспомогательные точки График функции(точный или эскиз)

Область определения функции Множество всех значений аргумента, при котором функция определена. D(f)

Чётность, нечётность D(f)-симметрична относительно О(0;0). Если f(-x)=f(x)-функция четная. Если f(-x)=-f(x)-функция нечетная. Если функция ни та, и ни другая, то она общего вида!

Четная функция Нечетная функция

Периодичность Если Т-период, то f(x+T)=f(x-T)=f(x) Синусоида- график одной из периодических функций

Точки пересечения графика с осями координат Нули функции Значение аргумента при котором значение функции равно нулю. С Ох, если y=0. Пересечение графика функции с осью с Оу, если х=0.

Промежутки знакопостоянства Промежутки знакопостоянства – интервалы, на которых функция положительна или отрицательна, или, иначе, решения неравенств f(x) > 0 и f(x) < 0. y>0, при х ε [a;b]; y<0, при х ε [a 1 ;b 1 ].

Монотонность Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2, выполняется неравенство f (x 1 ) < f (x 2 ). Или выполняется условие f (x)>0 Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 > x 2, выполняется неравенство f (x 1 ) > f (x 2 ). Или выполняется условие f (x)<0 Промежутки возрастания и убывания – интервалы, на которых функция или возрастает, или убывает. Слова возрастание и убывание функции иногда заменяют одним словом – монотонность функции.

Функция возрастает Функция убывает

Экстремумы Точки экстремума – точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (максимум) или самое малое (минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках Если в точке х 0 производная меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка максимума Если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х 0 есть точка минимума.

Множество значений функции Наибольшее и наименьшее значение Множество значений функции – множество чисел, состоящее из всех значений функции. E(f) Непрерывная на отрезке [a;b] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение, либо на концах промежутка, либо в критических точках, в которых f=0

Вспомогательные точки Точки, требуемые при построения графика.(Если выявленных точек не достаточно для построения графика)

График График функции множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты соответствующими значениями функции y.

Исследование функции y=(x 2 +x)/(x 2 -3x+2) 1. Упростим выражение y=(x 2 +x)/(x 2 -3x+2); y=(x 2 +x)/((x-1)*(x-2)) D(f)=R\1,2 2. Функция общего вида, т.к.f(-x)f(x) и f(-x) -f(x) Непериодическая С осью оy x=0, тогда y=0; C осью ox y=0, тогда (x 2 +x)/(x 2 -3x+2)=0 x 2 +x=0 x*(x+1)=0 x=0 или x=-1

5. Промежутки знакопостоянства 6. Находим производную функции y=(-4x 2 +4x+2)/((x-1) 2 *(x-2) 2 ) D(f)=R\1;2 7. Находим промежутки возрастания и убывания функции (-4x 2 +4x+2)/((x-1) 2 *(x-2) 2 )=0 -4x 2 +4x+2=0 x 1 = (-1+3)/-21,4; x 2 = (-1-3)/-2-0,4;

8. Экстремумы x= (-1+3)/-2 -точка минимума; y((-1+3)/-2)=(2-23)/(3+23) x= (-1-3)/-2-точка максимума; y((-1+-3)/-2)=(2+23)/(3-23) 9. E(y)=(-;(2-23)/(3+23) U (2+23)/(3-23);+) 10. График

Энциклопедия «Кирилла и Мефодия» Литература