9 а

Сложить коллинеарныйе противоположно направленные вектора а в О а + в.

а в Векторы а и в коллинеарныйе, найти сумму векторов. О С а + в а а в

1)От конца вектора а отложить вектор в, равный вектору в ; 2)Провести вектор из начала вектора а в конец вектора в. 3)ВЫВОД: полученный вектор и будет суммой векторов а и в. ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА а+в в а в в а

ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА 1)От начала вектора а отложить вектор в, равный вектору в; 2)На векторах а и в как на сторонах построить параллелограмм ; 3)Провести из общего начала векторов а и в вектор –диагональ параллелограмма. 4)ВЫВОД: полученный вектор будет суммой векторов а и в. а в а в

ПРАВИЛО МНОГОУГОЛЬНИКА а 1 а 1 а 2 а 2 а 3 а 3 а 4 а 4 1 ) От конца вектора а 1 отложить вектор а 2, равный вектору а 2; 2) Повторить откладывание векторов столько раз, сколько векторов нужно отложить; 3) Провести вектор из конца вектора а n в начало а. ВЫВОД: полученный вектор в и будет суммой векторов а 1, а 2, а 3,… и а n а 1 а 1 а 2 а 2 а 3 а 3 а 4 а 4

ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ Для любых векторов а, в и с справедливы равенства: 1) а + в = в + а --- переместительный закон 2) ( а + в ) + с = а + ( в + с ) --- сочетательный закон

ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН. 1.Доказательство: Рассмотрим случай,когда векторы а и в не коллинеарный. А В а D в С а в а + в ОТ произвольной точки А отложим векторы АВ = а и АD = в и на этих векторах построим параллелограмм АВСD. По правилу треугольника АС = АВ + АD = а + в. Аналогично АС= АD + DС = в + а. Отсюда Следует,что а + в = в + а,

2. СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН. Доказательство. От произвольной точки А отложим вектор АВ = а, а от точки В вектор ВС = в, от точки С вектор СD=с. Применяя правило треугольника, получаем: (а + в ) + с = ( АВ + ВС )+ СD =АC+СD =АD а + ( в + с) = АВ + (ВС + СD)=АВ + ВС = А D. Отсюда следует, что ( а + в ) + с = а + ( в + с). Теорема доказана.. А В а в с С D

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ а в а- в Разностью векторов а и в называется такой вектор, сумма которого с вектором в равна вектору а а в а в

Теорема : Для любых векторов а и в справедливо равенство а – в = а +( - в ). Доказательство. По определению разности векторов ( а – в ) + в =а. Прибавив к обеим частям этого равенства вектор (-в), получим (а – в ) + в + (-в)= а+ (-в),или (а – в ) +0=(-в), откуда а – в = а + (-в). а в. ВА О -в-в а а -в

Задача 754 Дано: х у z А)х + y В) x +z C) z +y

Задача 755 Дано: а в с d е а +в +с + d +е а в с d e

Задача 756. Дано: х z y - х -z -y y х - у z - y x -z xx у у z

ЗАДАЧА : используя правило треугольника, постройте векторы ОА = а +в а в в ОА а

ЗАДАЧА: используя правило параллелограмма постройте векторы ОР =х + у Х+У= ОР O P х. у х у

Задача : Используя правило треугольника, найдите сумму векторов: а) РМ и МТ, б) СН и НС, в) АВ + 0,г) 0 +СЕ. Решение: а)РМ + МТ = РТ б) СН +НС= СС= 0 в) АВ + 0 = АВ г) 0 + СЕ= СЕ

З адача : Используя правило треугольника, постройте векторы ОА = а + в и CВ = а +в. Определите вид четырехугольника ОАВС. а в о В С К А М а в а в Отложим от точки О вектор ОМ = а и от точки М вектор МА = в, тогда ОА=ОМ + МА. Аналогично строим СК = а и КВ = в, тогда СВ = СК+КВ. Т.к. ОА = а + в и CВ = а + в, то ОА=CВ, поэтому четырехугольник- параллелограмм.