х у

Постройте при k>0 графики следующих функций: х у х у х у х у

Свойства числовых неравенств. Если a>b и b>c, то a>c. Если a>b, то a+c>b+c. Если a>b и m>0, то am>bm; если a>b и m<0, то am<bm. Если a>b и c>d, то a+c>b+d. Если a, b, c, d – положительные числа и a>b, c>d, то ac>bd. Если a и b – неотрицательные числа и a>b, то, где n – любое натуральное число.

х у возрастает убывает возрастает

По графикам определите какая перед вами функция: возрастающая или убывающая. х у х у y=f(x) – возрастающая функция y=f(x) – убывающая функция y=f(x)

Определения понятий возрастания и убывания функций. Определение 1. Функцию y=f(x) называют возрастающей на промежутке Х, если из неравенства x < x, где хи x - любые точки из промежутка Х, следует неравенство f(x )<f(x ). Определение 1. Функцию y=f(x) называют убывающей на промежутке Х, если из неравенства x < x, где хи x - любые точки из промежутка Х, следует неравенство f(x )>f(x ). Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

х у х <x х х f(x ) f(x )>f(x ) х х f(x ) х >x f(x 4 )>f(x 3 )

Линейная функция y=kx+m. х у х у y=kx+m, k>0 y=kx+m, k<0 Если k>0, то функция возрастает на всей числовой прямой. Если k<0, то функция убывает на всей числовой прямой.

Доказательство: Пусть f(x)=kx+m. Если х 0, то kx < kx (свойство 3). Если kx < kx, то kx +m < kx +m (свойство 2). Значит f(x ) < f(x ). Из неравенства х < x следует, что f(x ) < f(x ). Это означает, что функция f(x)=kx+m возрастает. Если х kx (свойство 3). Если kx > kx, то kx +m > kx +m (свойство 2). Значит f(x ) > f(x ). Из неравенства х f(x ). Это означает, что функция f(x)=kx+m убывает.

Функция y=x ². х у 0 1) y=x², х Є [0,+), 0 х< х 2) х ² < х ² (свойство 6), т.е. f(x )<f(x ) 3) х< х f(x )<f(x ) Значит на луче [0,+) функция возрастает. I II 1) y=x², х Є (- ;0], х< х 0 2) х -х (свойство 3) (-х )² > (-х )² (свойство 6), т.е. х ² > х ², значит f(x )>f(x ). 3) х f(x ) Значит на луче (- ;0] функция убывает.

Функция y=1/x. х у 0 I 1) y=1/x, x Є (0;+ ), 0< х < х 2) Если х -х, поэтому 1/-х < 1/-х. Откуда получаем 1/х > 1/х, т.е. f(x )>f(x ). 3) х f(x ) Значит на луче (0; +) функция убывает. II 1) y=1/x, x Є (- ;0), х < х <0. 2) Если х 1/х, т.е. f(x )>f(x ). 3) х f(x ) Значит на луче (-;0) функция убывает.

Термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция. Исследование функции на возрастание и убывание называют исследование функции на монотонность.

Решите устно: 32.1; 32.2; Решите письменно 32.6, 32.7 – 32.9 ( а, б), Самостоятельно постройте на координатной плоскости: а) убывающую на интервале (-2;4) функцию; б) функцию, возрастающую на отрезке [-3;-1] и убывающую на полуинтервале (-1;2]; в) функцию, убывающую на полуинтервале [-1;1), возрастающую на отрезке [1;3] и убывающую на интервале (3;5).

х у а) б) в) х у х у -32

Домашнее задание (в, г) Удачи!