Эффективные методы решения неравенств с одной переменной ( типовые задания С3) МБОУ « СОШ 6» г. Нефтеюганска Учитель математики Юрьева Ольга Александровна

При решении иррациональных, показательных и логарифмических неравенств в задании С3, в различных сборниках, тренировочных вариантах ЕГЭ используются, в основном, стандартные методы решения, которые, иногда, трудоемки и занимают много времени. Метод рационализации позволяет упростить и сократить время решения данных неравенств. Этот метод заключается в замене сложного выражения на более простое, равносильное данному на области определения, выражение. Использование данного метода не только упрощает решение, но и сокращает количество ошибок и увеличивает число учащихся, приступающих и решивших задание С3.

Правило 1. Если g(x)0, то знак разности совпадает со знаком разности f(x) - g²(x) в ОДЗ. Пример 1: Решить неравенство Решение. Запишем неравенство в виде Заменим неравенство равносильной системой используя метод рационализации Ответ: (-2;0] U [6;+)

Правило 2. Знак разности совпадает со знаком разности f(x) - g(x) в ОДЗ. Пример 2: Решить неравенство Решение. Запишем неравенство в виде Заменим неравенство равносильной системой используя метод рационализации

Более сложные неравенства Так как при g(x)0, знак разности совпадает со знаком разности f(x) - g²(x) в ОДЗ, то получаются условия равносильности: 1)если g(x)0, то ОДЗ 2) если g(x) <0, то h (x) < 0 Правило 3.

Так как знак разности совпадает со знаком разности f(x) - g(x) в ОДЗ, то ОДЗ Правило 4.

Правило 5. Знак разности совпадает со знаком произведения Правило 6. Для любой функции h(х) имеет место условие равносильности Метод рационализации для показательных неравенств ОДЗ

Пример 3. Решить неравенство : Решение. Ответ: (0;1];(2;+ ) Запишем неравенство используя метод рационализации в виде

Правило 6. Для любой функции h(х) имеет место условие равносильности ОДЗ

Пример 4. Решить неравенство: Решение. Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Задача 53 1 Ответ: Запишем неравенство в виде

D= = 4 t =

Пример 5. Решить неравенство: Решение. Перепишем неравенство в виде Применим метод рационализации

2t 2 -7t+3=0 D=49-4·2·3=49-24=25 Рассмотрим числитель дроби, введем замену, решим полученное квадратное уравнение Рассмотрим знаменатель дроби, представим числа 2 и 1 в виде степени числа 3

1 0 х _ _ Ответ: На числовой прямой обозначим все полученные точки, учитывая результаты оценки

Метод рационализации для логарифмических неравенств Знак разности совпадает со знаком произведения в ОДЗ. Знак совпадает со знаком произведения (a-1)(f(x)-1) в ОДЗ. ( a-1)(f(x)-g(x)) Правило 7 Правило 8

Метод рационализации для логарифмических неравенств Решение неравенств вида сводится к решению неравенства в ОДЗ Правило 9 Правило 10 Решение неравенств вида сводится к решению неравенства в ОДЗ

Пример 7. Решить неравенство: Ответ: Решение. Область определения неравенства задается системой Запишем неравенство используя метод рационализации в виде

Пример 8. Решить неравенство: > 0 Решение. Найдем область определения неравенства

Знак совпадает со знаком произведения (a-1)(f(x)-1) в ОДЗ. Правило 7

> 0 Ответ: С учетом области определения

Пример 9. Решить неравенство: Решение.

Ответ:

Пример 10. Решить неравенство : Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Задача 52

Решение: Ответ:

Пример 11. Решить систему неравенств:

Решение. Решением неравенства является множество: Рассмотрим первое неравенство системы.

Ответ: Рассмотрим второе неравенство системы. Найдем область определения неравенства. Решением исходной системы является множество

Пример 12. Решить систему неравенств:

(7-x-1)(x+2-3+x) 0, (6-x)(2x-1) 0, Решение. Рассмотрим первое неравенство системы. Найдем область определения неравенства.

32·9 x 60·3 x -7, 32·3 2x - 60·3 x +7 0, 32t 2 -60t x =t, где t>0 Пусть Рассмотрим второе неравенство системы. Решением неравенства является множество Ответ:

Пример 13. Решить систему неравенств: Решение. Область определения неравенства задается системой

Рассмотрим первое неравенство системы Решением неравенства является множество:

Рассмотрим второе неравенство системы Решением неравенства является множество:

Ответ: Учитывая полученные промежутки, записываем ответ

Пример 14. Решить систему неравенств: Решение. Прокофьев А.А., Корянов А.Г. Задача 115 Область определения неравенства задается системой

Рассмотрим первое неравенство системы Решением неравенства является множество:

Рассмотрим второе неравенство системы Решением неравенства является множество: Решением системы является множество: Ответ:

Литература: 1.Колесникова, С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. Айрис- пресс 2004 г. 2.Прокофьев, А.А., Корянов, А.Г. Математика ЕГЭ 2011, 2013 Системы неравенств с одной переменной. 3. Материалы ЕГЭ 2011, 2012, 2013 гг.