Алгебра логики. Методы решения логических задач Учебное пособие по математической логике

Аннотация Целью данной работы было создание учебного пособия для учащихся средних школ по математической логике. Пособие разбито на две части: учебник и задачник. В учебнике рассмотрены причины возникновения математической логики, некоторые понятия алгебры логики, рассмотрены методы решения логических задач. В задачник вошло большое количество задач, практически все снабжены ответами. Пособие может быть использовано как для проведения факультативных занятий, так и для самостоятельного изучения учащихся.

Что такое алгебра логики? Алгебра логики это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля.

Отрицание Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием, обозначается чертой над высказыванием (или знаком ד). Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. "Луна спутник Земли" (А); "Луна не спутник Земли" (דА). АדАדА ИЛ ЛИ Определение отрицания может быть записано с помощью так называемой таблицы истинности:

Конъюнкция Конъюнкцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В. АВА&B

Дизъюнкция Дизъюнкцией двух высказываний называется такое новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно ХОТЯ БЫ ОДНО из этих высказываний. ABAVBAVB

Эквиваленция Эквиваленцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания А и В истинны или оба ложны. ABAB

Импликация Операция, выражаемая связками "если..., то", "из... следует", "... влечет...", называется импликацией Высказывание ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. ABABAB

Что такое логическая формула? Определение логической формулы: Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1") и "ложь" ("0") формулы. Если А и В формулы, то, А&В, А v В, А B, АВ формулы. Никаких других формул в алгебре логики нет.

Законы логики Закон Для ИЛИДля И Переместительный Сочетательный Распределительный Правила де Моргана Идемпотенции Поглощения Склеивания Операция переменной с ее инверсией Операция с константами

Упросить выражение с помощью закона де МОРГАНА

Методы решения логических задач I. Решение логических задач средствами алгебры логики II. Решение логических задач табличным способом III. Решение логических задач с помощью рассуждений

Задача Алёша, Борис, Гриша нашли в земле сосуд. Каждый из них высказал по 2 предположения. Алёша: «Это сосуд греческий, 5-ого века». Борис: «Это сосуд финикийский, 3-его века. Григорий : «Это сосуд не греческий, но 4-ого века. Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух своих предположений. Где и в каком веке был изготовлен сосуд?

Решение G – греческий сосуд F – финикийский A – сосуд 5-ого века B – сосуд 4-ого века C – сосуд 3-его века Алёша: G & דA + ד G & A = 1 Борис: F &דC + דF & C = 1 Григорий: דG & דB + G &B = 1 (G & דA + ד G& A) &(F&דC + דF& C) & (דG&דB + G&B) = 1 ОТВЕТ: ד G & A & F & ד B & ד C, Финикийский 5-ого века.

Исследование конъюнкции и дизъюнкции в простых предложениях Цель исследования Математический анализ структуры простых предложений с однородными сказуемыми Объект, предмет Объект – простые предложения с однородными сказуемыми Предмет – перестановочность однородных сказуемых в простых предложениях, замена союзов, сохранение и изменение смысла предложений. Гипотеза Не все внешние проявления логических операций в русском языке являются ими по смыслу предложения. Задачи Проанализировать и классифицировать ряд примеров простых предложений с однородными сказуемыми

Ход исследования Я иду и пою. А & Б Я пою и иду. Б&А – нет смысла Я иду или пою. А + Б – нет смысла Я пою или иду. Б + А – нет смысла В данном случае коммутативное свойство отсутствует. Я открываю и закрываю сумку. Я закрываю и открываю сумку. Меняется смысл высказывания. Она родила ребенка и вышла замуж. Она вышла замуж и родила ребенка. Меняется смысл высказывания Я открываю или закрываю сумку. Я закрываю или открываю сумку. В данном случае коммутативное свойство дизъюнкции присутствует.

Выводы На основании грамматических отношений между сказуемыми можно считать все рассмотренные нами высказывания («И») конъюнкцией, тогда как лексические значения глаголов, которыми выражены сказуемые, делают ситуацию более сложной. В высказываниях, в которых выполняется дизъюнкция, глаголы должны быть равноправными. Т.е. дизъюнкция выполняется в тех высказываниях, в которых выполняется коммутативное свойство конъюнкции.