Розглянемо геометричну задачу: знайти площу криволінійної трапеції.

Означення. Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком неперервної функції, яка не змінює знак на відрізку [a;b], прямими і відрізком [a;b].

Обчислимо площу криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком неперервної функції, яка набуває додатних значень, з боків відрізками прямих, знизу відрізком [a;b], який лежить на осі ОХ.

Розібємо відрізок [a;b] на n рівних відрізків і позначимо абсциси точок поділу через де Довжина будь-якого з цих відрізків, на які розбито відрізок [a;b], дорівнює:

На кожному з цих відрізків, як на основі, побудуємо прямокутники з висотою, що дорівнює значенню функції в лівому кінці відрізка.

Обєднанням усіх n прямокутників є східчаста фігура. Позначимо її площу через, тоді вона буде дорівнювати сумі площ прямокутників: Цю суму називають інтегральною сумою функції на відрізку [a;b].

Якщо n, то х 0, і оскільки функція неперервна, то східчаста фігура буде все менше відрізнятися від криво-лінійної трапеції. А тому площа S криволінійної трапеції буде все менше відрізнятися від, тобто. Тому природно за площу криволінійної трапеції взяти границю площі східчастої фігури за умови n, тобто

Числа a і b називають межами інтегрування: a – нижня межа, b – верхня межа; - підінтегральна функція, х – змінна інтегрування.

Символ був уведений Готфридом Лейбніцем і нагадує видовжену букву S – першу букву слова «summa». Вираз нагадує вигляд кожного окремо доданка інтегральної суми.множник dx називають диференціалом. Отже,

Геометричний зміст інтеграла: якщо ƒ(x) 0 для всіх х [a;b], є площею криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції ƒ(x), прямими x=a, x=b і віссю абсцис.

Розглянемо задачу про механічний рух. Нехай матеріальна точка рухається з постійною швидкістю v=v 0.графіком швидкості v=v(t) у системі координат (t;v) буде пряма v=v 0.

Шлях S, пройдений матеріальною точкою за час t=t- t 0, обчислюється за формулою S=v 0 t.

ЗАДАЧА Розгляньте нерівномірний рух, який описується функцією залежності швидкості від часу v(t), і знайдіть пройдений за певний інтервал часу шлях.

Швидкість у випадку нерівномірного руху можна вважати постійною лише на маленькому проміжку часу. Розвяжіть задачу за аналогією до розвязку задачі про знаходження площі криволінійної трапеції.