« Матрицы и действия над ними» Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Преподаватель: Французова Г.Н.

Содержание: 1. Понятие матрицы 2. Сложение матриц 3. Вычитание матриц 4. Умножение матрицы на число 5. Умножение матриц 1. Понятие матрицы 2. Сложение матриц 3. Вычитание матриц 4. Умножение матрицы на число 5. Умножение матриц

Понятие матрицы Матрицей называется прямоугольная таблица чисел где i=1,2,3,…, m – номер строки, j=1,2,3,…,n – номер столбца, вида Матрицей называется прямоугольная таблица чисел где i=1,2,3,…, m – номер строки, j=1,2,3,…,n – номер столбца, вида

Матрицу А называют матрицей размера и пишут:

Например:

Элементы матрицы Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ.

Виды матриц 1. Матрицы равны между собой, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны. 2.Матрица, в которой число строк равно числу столбцов называется квадратной, причем число ее строк называется порядком матрицы 1. Матрицы равны между собой, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны. 2.Матрица, в которой число строк равно числу столбцов называется квадратной, причем число ее строк называется порядком матрицы

Например: квадратная матрица третьего порядка

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов, находящихся на главной диагонали равны нулю, и матрица имеет вид

Например: диагональная матрица третьего порядка

Единичная матрица Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Пример

Нулевая матрица Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Она имеет вид:

Вектор - матрица Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (вектор-строка или вектор-столбец соответственно). Их вид:

Матрица размера, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е.есть 5.

Транспонированная матрица Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: Пример:

Сложение Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Сумма матриц - Называется матрица, такая, что i=1,2,3,…,m, j=1,2,3,…,n.

Пример 1

Пример 2. Аналогично определяется разность матриц:

Умножение на число Произведением матрицы на число k называется матрица такая, что i=1,2,3,…,m, j=1,2,3,…,n.

Пример 3.

Свойства сложения матриц и произведения матрицы на число где А, В, С – матрицы,,- числа.

Произведение матриц Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что где i=1,2,3,…, m, k=1,2,3,…,p,

Правило: т.е. элемент i-ой строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Получение элемента схематично изображается так:

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют, но необязательно равны друг другу. Легко показать, что где А - квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера

Пример 4.

Пример 5 Произведение не определено, так как число столбцов матрицы А(3) не равно числу строк матрицы В(2).

Произведение матрицы считают следующим образом:

Пример 6. Найти произведение матриц если:,

Решение:

Пример 7. Найти произведения матриц и Пример 7. Найти произведения матриц и

Решение: то есть

Свойства умножения матриц