Фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ) Введение

Определения Фильтр – устройство, предназначенное для изменения спектра входного сигнала соответствующим образом. Назначение – улучшение качества сигнала, выделение информационной составляющей, разделение сигнала на компоненты. Цифровой фильтр – математический алгоритм, реализуемый с помощью аппаратных и/или программных средств и предназначенный для получения выходного цифрового сигнала с требуемыми характеристиками из входного цифрового сигнала.

Характеристики фильтра Цифровой фильтр является линейной системой. Линейная система обладает свойством суперпозиции: - входной сигнал -выходной сигнал Что это означает?

Характеристики фильтра Если параметры фильтра не изменяются во времени, такой фильтр называется независящим от времени (инвариантным). Это означает, что реакцией на задержанный во времени входной сигнал x(n-m) будет такой-же выходной сигнал y(n-m), задержанный на m отсчетов. Что это означает?

Характеристики фильтра Цифровой фильтр называется причинным (каузальным) если его реакция в момент времени n0 не зависит от отсчетов входного сигнала, поступающих после момента времени n0. Что это означает?

Характеристики фильтра Основными характеристиками фильтра являются его амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) и фазо- частотная характеристика (ФЧХ). Они называются статическими характеристиками. К динамическим характеристикам фильтра относятся: время нарастания, время установления и амплитуда перерегулирования.

Условие стабильности фильтра Фильтр является стабильным, если выполняется условие: Фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтр) всегда стабилен. Почему?

Особенности КИХ-фильтра Коэффициенты КИХ-фильтра являются отсчетами его импульсной характеристики h(n). КИХ-фильтр всегда стабилен, т.к. он не имеет ветви обратной связи. Это означает, что для ограниченного по амплитуде входного сигнала на выходе фильтра будет сформирован ограниченный по амплитуде выходной сигнал. Для реализации КИХ-фильтра понадобится конечное число ячеек памяти. Ошибка округления такого фильтра невелика. Легко реализуем. ФЧХ КИХ-фильтра всегда линейна. Какой недостаток КИХ-фильтров?

Типы фильтров Частоты, проходящие через фильтр без изменения амплитуды, составляют полосу пропускания фильтра. Частоты, которые отсекаются фильтром, составляют полосу подавления фильтра. Точка перехода от полосы пропускания к полосе подавления называется частотой среза. В зависимости от вида АЧХ, все фильтры разделяются на четыре типа: - фильтры низких частот (ФНЧ); - фильтры высоких частот (ФВЧ); - полосовые фильтры (ПФ); - режекторные (заграждающие) фильтры (РФ).

АЧХ идеальных фильтров

АЧХ реального фильтра Амплитудные искажения в полосе пропускания и полосе подавления. Наличие переходной полосы. w P – граничная частота полосы пропускания. w S – граничная частота полосы подавления. Коэффициент передачи в полосе пропускания: Коэффициент передачи в полосе подавления:

Величина отклонения Величина отклонения коэффициента передачи в полосе пропускания (в Дб) определяется следующим выражением: Величина отклонения коэффициента передачи в полосе подавления (в Дб) определяется следующим выражением:

Пример АЧХ узкополосного полосового фильтра Центральная частота фильтра (с максимальным значением коэффициента передачи) определяется как: Ширина полосы пропускания фильтра: Коэффициент передачи на частоте среза:

Фазовая характеристика фильтра Характеризует временную задержку прохождения различных частотных составляющих через фильтр. Фазовая задержка многочастотного сигнала определяется как среднее арифметическое фазовых задержек каждой спектральной составляющей сигнала. Групповая задержка определяется выражением: где φ(w) – фазовая характеристика фильтра. Свойство линейности фазовой характеристики определяется как: Групповая задержка фильтра с линейной фазовой характеристикой – постоянная величина.

Представление КИХ-фильтра Графическое представление (прямая форма): Выходной сигнал фильтра: где b l – коэффициенты импульсной характеристики фильтра. Передаточная характеристика фильтра:

Линейная свертка Реакция фильтра определяется операцией линейной свертки его импульсной характеристики со входным сигналом. Операция свертки записывается так: Если входной сигнал представлен М отсчетами, а импульсная характеристика фильтра имеет L коэффициентов, то выходной сигнал фильтра будет содержать L+M-1 отсчет.

Пример выполнения свертки Если КИХ-фильтр имеет четыре коэффициента: Тогда четыре отсчета выходного сигнала будут:

Сверточная машина

Примеры КИХ-фильтров Одним из простейших КИХ-фильтров является гребенчатый фильтр. Выходной сигнал такого фильтра описывается следующим дифференциальным уравнением: Передаточная характеристика гребенчатого фильтра определяется следующим выражением:

Примеры КИХ-фильтров

Другим примером КИХ-фильтра является фильтр скользящего среднего. Выходной сигнал такого фильтра описывается следующим дифференциальным уравнением: Передаточная характеристика фильтра скользящего среднего определяется следующим выражением:

Примеры КИХ-фильтров

Каскадная форма представления фильтра Передаточную характеристику фильтра можно представить в несколько ином виде: что позволит представить структуру фильтра в виде последовательно соединенных каскадов. Пример – реализация сложного фильтра, состоящего из нескольких каскадов фильтров второго порядка:

Каскадная форма представления фильтра Пример изображения такого фильтра показан на рисунке:

Реализация КИХ-фильтров Коэффициенты КИХ-фильтра – константы, которые хранятся в памяти коэффициентов. Отсчеты входного сигнала – переменные, которые обновляются с каждым новым отсчетом.

Реализация КИХ-фильтров Эффективным способом формирования сдвига входной последовательности является использование циклического буфера: - указатель адреса очередного отсчета сдвигается против часовой стрелки.