Механический и геометрический смысл производной Выполнили: Механошина Нина, Исаенко Юля, 10 «В» класс Проверила Мартюшова В. А.

Механический смысл производной Производная имеет простой механический смысл. Пусть материальная точка движется по оси у. Путь, пройденный этой точкой за время t с учетом направления движения, записывается функцией y=f(t). Гладкость функции на механическом языке означает, что точка движется "гладко", т.е. без скачков и ударов. В этом случае в каждый момент времени t можно вычислить скорость движения v=v(t). Из механики известно, что величина скорости v(t) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции f пути в точке t. Таким образом, скорость материальной точки – это производная пути как функции времени.

Движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t 0 до t 0 + t точка перемещается на расстояние: x ( t 0 + ) - x ( t 0 ) = x, а её средняя скорость равна: v a = x/ t; При t 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v(t 0 )материальной точки в момент времени t 0. Рассмотрим простейший случай

Но по определению производной мы имеем: отсюда, v ( t 0 ) = x ( t 0 ), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v ( t ).

Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: где угол - угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то х неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x 0, f ( x 0 ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ( x 0 ) имеет вид: y = f ( x 0 ) · x + b. Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: f ( x 0 ) = f ( x 0 ) · x 0 + b, отсюда, b = f ( x 0 ) – f ( x 0 ) · x 0, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной: y = f ( x 0 ) + f ( x 0 ) · ( x – x 0 ).

Физический смысл производной Неравномерное движение

Среднее ускорение материальной точки выражается формулой Мгновенное ускорение точки равно Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением

Количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, определяет силу тока: В электростатическом поле, изменяющемся только по оси OX, напряженность и потенциал связаны соотношением В более сложных формулах можно встретить производные второго порядка и частные производные.

Список литературы: Информация взята из …… WIKIPEDIA.COM; Колмогоров А. Н. «Алгебра и начала анализа»; Сканави М. И. «Сборник задач для поступающих в вузы».

Спасибо за внимание!