МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ (9 КЛАСС) 1 км. Разработано учителем математики МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района Республики Коми Мишариной Альбиной Геннадьевной

Содержание Разложение вектора по двум неколлинеарным. Координаты вектора. Правила действий над векторами с заданными координатами. Простейшие задачи в координатах: 1)Координаты вектора через координаты начала и конца этого вектора. 2) Координаты середины отрезка 3) Вычисление длины вектора по его координатам. 4) Расстояние между двумя точками Уравнение окружности Уравнение прямой Задачи Заключение

Теорема Любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам и, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Пусть а и в не коллинеарные (т.е. не являются параллельными и не 0 ) Тогда: с = х·а + у·в, где х и у некоторые числа

Координаты вектора у Векторы i и j называются единичными координатными векторами. Т.к. они не коллинеарные, то любой вектор можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде ОА = х· i + у· j. Числа х и у называются координатами вектора ОА. Записывается: ОА х;у i х j О А 1 1 1

Итак: координаты вектора –это коэффициенты разложения этого вектора по ЕДИНИЧНЫМ КООРДИНАТНЫМ ВЕКТОРАМ И координаты вектора численно равны координатам точки, являющейся концом этого вектора. у х х В С 1 1 М К N О А F

Самостоятельно Записать координаты векторов ОА; ОВ и ОС Ответ: ОА 10;8 ОВ 0;7 ОС -4;-9

Правила действий над векторами с заданными координатами. Если И, то х 1 = х 2 ; у 1 = у 2 1) Равные векторы имеют равные координаты

Правила действий над векторами с заданными координатами. 2) Каждая координата суммы двух (и более) векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. (стр. 221) 3) Координаты противоположных векторов противоположны. 4) Координаты разности двух векторов равны разности соответствующих координат вычитаемых векторов. (стр. 221) 5) Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. 6) Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. (стр. 221)

Решаем стр (а;б) 922 (а;б) 923 (а;б) 924 (а;б) 925 (а;б)

Вспомним 1)4i -2j 2)ОЕ по i и j 3)ОА 4){-2;-5} Ответы: 1)ОС 2)- 4i - 2j 3){2;4} 4)ОD х у А В F E D H C

Простейшие задачи в координатах 1.1. Нахождение координаты вектора через координаты начала и конца этого вектора. Если точка А (х 1 ;у 1 ) и В(х 2 ;у 2 ), то вектор АВ будет иметь координаты {х 2 – х 1 ; у 2 – у 1 } Запомним, что из координаты конца вектора вычитают координаты начала вектора

Доказательство y x А (x 1 ; y 1 ) B(x 2 ; y 2 ) O Дано: точки А(x 1 ; y 1 ) и B(x 2 ; y 2 ) Доказать : AB { x 2 -x 1 ; y 2 - y 1 } Доказательство: AB = OB – OA B (x 2 ; y 2 )=> OB {x 2 ; y 2 } A (x 1 ; y 1 )=> OA {x 1 ; y 1 } => => AB {x 2 -x 1 ; y 2 - y 1 }

Простейшие задачи в координатах 2. Нахождение координаты середины отрезка Если точки А(x 1 ; y 1 ) и B(x 2 ; y 2 ), то координаты (x;y) середины отрезка АВ будут равны: х = (х 1 +х 2 ):2 у = (у 1 +у 2 ):2 (Доказательство на стр.225)

Простейшие задачи в координатах 3. Вычисление длины вектора по его координатам. Если а {х;у}, то | а | будет равна | а | = х²+у² (Доказательство на стр.226)

Простейшие задачи в координатах 4. Вычисление расстояния между двумя точками Если точки А(x 1 ; y 1 ) и B(x 2 ; y 2 ), то |AB| будет равна: | AB| = (х 2 -х 1 )² +(у 2 -у 1 )² (Доказательство на стр.226)

Рассмотрим задачу y x А (2;3) B(3; 1) O Дано: точки А(2 ; 3) и B(3; 1) Найти : AB {?;?} Решение: AB {x 2 -x 1 ; y 2 - y 1 } AB {3-2 ; 1-3} => AB {1; -2} Ответ : AB {1; -2}

Рассмотрим задачу Дано: АВСD-квадрат A (8; 8), B (5; 5). S ABCD -? Решение. S ABCD = AB² => S ABCD = AB² = 18 кв. ед. Ответ: 18 кв. ед. A BC D

Решаем вместе стр (1;4;6) 938 (а;б;в) 940 (в;г)

Самостоятельно стр Помощь: Что такое периметр треугольника? Если координаты точек есть (координаты вершин треугольника), то по какой формуле можно найти расстояние между этими точками (т.е. длину стороны треугольника)? |AB| = (х 2 -х 1 )² +(у 2 -у 1 )²

Уравнение окружности Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой, которая называется центром окружности Составим уравнение окружности с центром в точке С (x 0 ; y 0 ) и радиусом R. Пусть точка M (x; y) принадлежит окружности. Тогда СM = R. => Квадрат расстояния между точками С и M равен квадрату радиуса: (x – x 0 )² + (y – y 0 )² = R², где (x 0 ; y 0 ) -координаты центра окружности (х ; y ) -координаты любой точки

В частности, уравнение окружности с радиусом R с центром в начале координат имеет вид: x² + y² = R²

Уравнение прямой Уравнением прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени: ax + by + c = 0, где коэффициенты (числа) a и b одновременно не равны нулю. Причём: Если a = 0, то прямая || Ox. Если b = 0, то прямая || Oy. Если с = 0, то прямая проходит через O (0; 0).

Решаем Напишите уравнение окружности с диаметром АВ, если А(-3;5) и В(7;-3) Решение точка 0 – середина отрезка АВ, значит х 0= (хА+ха):2=2 у 0=(уА+уВ):2=1 Значит центр окружности имеет координаты (2;1). Найдём радиус окружности, т.е. |ОА|= (хА-х 0)²+(уА-у 0)² = =(-5)²+(4)²=25+16=41, R = 41 Можем написать уравнение окружности: (х - 2)² + (у - 1)² = 41 А(-3;5) В(7;-3) 0

Решаем Даны координаты вершин трапеции АВСD: А(-2;-2), В(-3;1), С(7;7), D(3;1). Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагональ АС б) диагональ ВD Решение. Уравнение прямой имеет вид: ax + by + c = 0 а) А(2;-2) и т.к. А Є АС, то -2 а-2 в+с=0; -2 а= 2 в-с; а = 1/2 с-в т.к. С(7;7) Є АС, то 7 а+7 в+с=0; 7 а= -7 в-с; а=-1/7 с –в. Тогда 1/2 с - в = -1/7 с – в. Значит с=о; а=-в Подставим в общее уравнение прямой ax + by + c = 0 : ах –ау + 0 = 0; ах–ау=0 (поделим на а) и уравнение диагонали АС: х – у = 0 А ВС D

Продолжение решения Найдём уравнение диагонали ВD: т.к. В(-3;1) Є ВD, то -3 а+в+с=0; 3 а=в+с; а=(в+с):3 т.к. D(3;1) Є ВD, то 3 а+в+с=0; 3 а= -в-с; а= - (в+с):3, Т.е. (в+с):3 = - (в+с):3, но это возможно, когда а=0, но тогда в = -с. Подставим все в общее уравнение прямой ах+ву+с=0 и получим: 0 х – су + с = 0; с – су = 0 (поделим на с) и уравнение диагонали ВD имеет вид: 1–у =0 или у–1=0 Ответ: уравнение диагонали АС х-у=0, а диагонали ВD у-1=0

Окружность задана уравнением (х+5)² + (у -1)² = 16. не пользуясь чертежом, укажите какие из точек А(-2;4); В(-5;-3); С(-7;-2) и D(1;5) лежат: а) внутри круга, ограниченного данной окружностью; б) на окружности; в) вне круга, ограниченного данной окружностью Решение. Пусть d-расстояние от центра окружности до точки, тогда: 1)если d=R, то точка находится на окружности 2)если d>R, то точка будет вне круга, ограниченного данной окружностью 3)если d<R, то точка будет внутри круга, ограниченного данной окружностью Исходя из этого найдем расстояния от центра окружности (-5;1) до каждой данной точки, зная что R =4:

Продолжение решения 1) d(ОА)=(-2+5)²+(4-1)²= 3²+ 3²= 18=32<4 значит т.А внутри круга, ограниченного данной окружностью 2) d(ОВ)=(-5+5)²+(-3-1)²= 0²+ (-4)²= 16=4= R значит т.В лежит на окружности 3) d(ОС)=(-7+5)²+(-2-1)²= (-2)²+ (-3)²= 13 < 4 значит т.С внутри круга, ограниченного данной окружностью 4) d(О D )=(1+5)²+(5-1)²= (6)²+ (4)²= 52> 4 значит т. D вне круга, ограниченного данной окружностью Ответ: на окружности точка В; внутри круга, ограниченного данной окружностью точки А и С; вне круга – точка D

Решаем Задача. Составьте уравнение фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, сумма квадратов расстояний которых от точек A (–6; 0) и B (6; 0) равна 104. Решение. x y OA B M 1)Пусть M (x; y) – точка, принадлежащая фигуре, уравнение которой необходимо составить. Тогда по условию задачи AM² + BM² = ) 3)(x + 6)² + y² + (x – 6)² + y² = 104. => x² + y² =16. Ответ: х² + у² = 16

Заключение Суть координатного метода заключается в том, что введение системы координат позволяет записать условие задачи в координатах и решать eё, используя знания по алгебре.

Получилось? МОЛОДЕЦ!!!

Интернет ресурсы Картинки yemocii.htmlwww.google.ru yemocii.html Шаблон Автор 31