Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Преподаватель: Французова Г.Н. Преподаватель: Французова Г.Н.

Понятие первообразной функции. Понятие неопределённого интеграла. Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Примеры непосредственного интегрирования.

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию, зная ее производную (или дифференциал). Искомую функцию называют первообразной функции. В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию, зная ее производную (или дифференциал). Искомую функцию называют первообразной функции.

Функция называется первообразной функции на интервале, если для любого выполняется равенство (или ).). ).).

Например: первообразной функции: Например: первообразной функции: является функция, т. к..,

Очевидно, что первообразными будут также любые функции:, где C – постоянная, поскольку, где C – постоянная, поскольку.

Теорема. Если функция является первообразной функции на, то множество всех первообразных для задается формулой, где C – постоянное число. Функция является первообразной.

Множество всех первообразных функции для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом. Неопределённый интеграл

По определению: называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, - знаком неопределенного интеграла.

Интегрирование функции - это операция нахождения неопределённого интеграла. Геометрический смысл неопределенного интеграла- это семейство параллельных кривых (каждому числовому значению C соответствует определенная кривая семейства). Геометрический смысл неопределенного интеграла- это семейство параллельных кривых (каждому числовому значению C соответствует определенная кривая семейства).

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных кривых (каждому числовому значению C соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных кривых (каждому числовому значению C соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой

График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Для всякой ли функции существует интеграл? Теорема: Всякая непрерывная на функция имеет на этом промежутке первообразную, а следовательно, и неопределенный интеграл.

Так как интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, то можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления (таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла.

Таблица основных неопределенных интегралов

1 свойство неопределенного интеграла Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральной функции: Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральной функции:

Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием и

Например, равенство верно, т. к..

2 свойство неопределенного интеграла Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной : Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной :.

Действительно,.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:, постоянная 3 свойство неопределённого интеграла

Действительно, (положим ).

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций: 4 свойство неопределённого интеграла

Пусть и. Тогда, где.

Инвариантность (неизменность) формулы интегрирования