Теорема Вієта. Деякі застосування теореми Вієта

І Вступ ІІ Основна частина 2.1 Історична довідка 2.2 Теорема Вієта для повного та зведеного квадратного рівняння. 2.3 Застосування теореми Вієта для розвязування квадратних рівнянь із цілими коренями 2.4 Застосування теореми Вієта для розвязування квадратних рівнянь з дробовими коренями. 2.5 Дослідження інших застосувань теореми Вієта. Спрощення радикалів. Вправи на доведення. Розвязування ірраціональних рівнянь. Системи рівнянь. ІІІ Висновки ІV Список використаних джерел інформації

Французький математик, народився в 1540 році на півдні Франції у невеликому містечку Фантене-ле- Конт. Батько вченого був прокурором. За традицією, син вибрав професію батька і став юристом, закінчивши університет у Пуату. У 1560 році двадцятирічний адвокат почав свою карєру у рідному місті. Як адвокат Вієт користувався у населення авторитетом та повагою. Але через три роки перейшов на службу у відому гугенотську родину Партене, де став секретарем власника будинку і вчителем його дочки, саме від навчання дочки Катерини в нього пробудився високий хист та прагнення вивчити математику.Франції1560

Квадратним рівнянням називається рівняння виду ах 2 + bx + c = 0, де a, b, c R (a 0). Числа a, b, c носять такі назви: a - перший коефіцієнт, b - другий коефіцієнт, с - вільний член.

Якщо в квадратному рівнянні: ах 2 + bx + c = 0, а = 1, то квадратне рівняння називається зведеним. Зведене рівняння в загальному вигляді найчастіше записується так: х 2 + рх + q = 0. Зведене квадратне рівняння

Сума коренів зведеного квадратного рівняння x 2 + px + q = 0 дорівнює його другого коефіцієнту p з протилежним знаком, а добуток - вільному члену q. Тобто x 1 + x 2 = – p і x 1 x 2 = q

Теорема Вієта чудова тим, що, не знаючи коренів квадратного рівняння, ми легко можемо обчислити їх суму і добуток, тобто найпростіші симетричні вирази x 1 + x 2 і x 1 x 2.

Так, ще не знаючи, як обчислити корені рівняння: x 2 + 2x – 8 = 0, ми, тим не менше, можемо сказати, що їх сума повинна дорівнювати - 2, а добуток має дорівнювати - 8.

Теорема Вієта дозволяє вгадувати цілі корені квадратного тричлена. Так, знаходячи корені квадратного рівняння x 2 – 7x + 10 = 0, можна почати з того, щоб спробувати розкласти вільний член (число 10) на два множника так, щоб їх сума дорівнювала б числу 7.

Це розкладання очевидно: 10 = 5 2, = 7. Звідси має випливати, що числа 2 і 5 є шуканими коренями. Розв'язання

Розвязати рівняння виду:. Розвязати нерівності виду: >0; < 0. Спростити вираз виду. Довести, що значення виразу + - число раціональне. Розвязати рівняння: – = 1. Довести нерівність: + > при х > 1.

Мета роботи: дослідити можливості застосування теореми Вієта в цих не стандартних для теореми прикладах.

Розглянемо рівняння 2х 2 – 8х – 90 = 0. Зазвичай ми вирішуємо таке рівняння за допомогою дискримінанту. Але його можна вирішити простіше: розкладемо на два співмножники не вільний член – 90, а добуток першого коефіцієнта на вільний член – 180, так, щоб сума дорівнювала числу 8. Знайдені числа 18 і -10 ділимо на коефіцієнт 2. Тобто х 1 = = 9, а х 2 = = - 5.

Спростити вираз. Перетворення зробимо за аналогією з розвязанням рівнянь. Число 12, що стоїть під другим радикалом, розкладемо на два множники (12 і 1) так, щоб їх сума (12 + 1) дорівнювала першому доданку (13). Із знайдених чисел 12 і 1 добуваємо корінь квадратний = 2 і = 1, тоді =

Довести, що значення виразу + - число раціональне. Запишемо цей вираз так: +. Оскільки = 11, дістанемо рівносильний йому вираз ( ) + ( ), значення якого дорівнює раціональному числу 6. Дослідження інших застосувань теореми Вієта.

Розвязати систему рівнянь: Таку систему можна вирішити за допомогою теореми Вієта. Нехай а + b = х 1, аb = х 2. Тоді х 1 +х 2 =7, х 1 х 2 =12. Отже, маємо дві системи: і. Перша система немає розв'язків, друга дає відповідь: Дослідження інших застосувань теореми Вієта.

Отже, така проста теорема Вієта корисна не тільки для зведених квадратних рівнянь, а й може допомогти у розвязуванні більш складних рівнянь та систем. Розвязали різні приклади, а спосіб розвязання спільний. Алгоритм розвязування квадратних рівнянь простий: число або вираз розкласти на два спільних співмножники так, щоб їх сума дорівнювала іншому заданому числу. Теорема знайшла застосування в спрощенні радикалів, розв'язуванні ірраціональних рівнянь, доведеннях, розвязуванні систем рівнянь тощо.

Бевз Г.П. Алгебра, 7 – 9: – Підручник. – К.: Освіта, – – 303 с. У світі математики: Збірник науково-популярних статей. Випуск 13 – К.: Рад.шк.,1982. – 255с. Інтернет ресурс: Інтернет ресурс Інтернет ресурс

Теорема Вієта. Деякі застосування теореми Вієта Редько Олександр Дмитрович учень 9 - В класу Волошина Валентина Іванівна Вчитель математики Спеціалізована школа 7 ім. М.Т.Рильського Солом'янського району м. Києва Київ – 2011