Решение линейных уравнений с параметром Интерактивный пособие для учащихся 7-11 классов Составитель: Абрамова Юлия Анатольевна, учитель математики МБОУ «СОШ 3» г. Пскова Вход Конкурс интерактивных презентаций «Интерактивная мозаика»

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Инструкция: Здравствуй, дорогой друг! Тебя приветствует интерактивное пособие «Решение линейных уравнений с параметром». В левой части слайда ты найдешь содержание разделов пособия. На любом этапе работы содержание открывается по щелчку мыши на соответствующий раздел пособия. Перейти на другой слайд можно по щелчку на «управляющую кнопку»: перейти на следующий слайд вернуться к предыдущему слайду Для выхода из пособия нажми клавишу «Esc». Желаю удачи в изучении темы «Решение линейных уравнений с параметром»!

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Об уравнении с параметром Рассмотрим линейные уравнения: 3 х = 2, х = 2, – 0,5 х + 1 = 2. В общем виде эти уравнения можно записать так: ах + 1 = 2, где а – некоторое число. Приведем еще примеры уравнений, в которых коэффициенты заданы не конкретными числами, а буквами: 5 х = р, ах = 1, с + dх = 10, kх – 3 = 0,5. Такие буквы называют параметрами. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.[1] Примечание.

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Об уравнении с параметром Уравнение с параметром – это семейство уравнений, определяемых параметром. Пример: 2 х – а = 3, |х| = а, 2 х – 2 а = 1 – а. Решить уравнение с параметром – это значит для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.[1] К основным методам (способам) решения линейных уравнений относятся аналитический метод и графический метод.

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Об уравнении с параметром Примечание. Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Пример из неотрицательной левой части уравнения |х| = а – 1 не следует неотрицательность значений выражения а – 1, если а – 1 < 0, то мы обязаны констатировать, что уравнение не имеет решений.[1]

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Аналитический метод Аналитический метод – это способ так называемого прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что этот способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.[1] Примечание. Аналитический метод решения задач с параметром самый трудный способ, требующий высокой математической грамотности.

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Аналитический метод Рассмотрим решение линейного уравнения ах = b, где а, b – некоторые действительные числа, х – переменная. В общем виде решение удобнее всего представить в виде следующей блок-схемы:

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Аналитический метод Пример 1. Решите уравнение ах = 1. Решение. При а = 0, т. е. 0·х = 1, уравнение не имеет корней. При а 0 уравнение имеет корень. Ответ: если а = 0, то корней нет; если а 0, то

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Аналитический метод Пример 2. Решите уравнение. Решение. Данное уравнение заменим равносильным ему: При а = 0 уравнение не имеет смысла. При а 0 и а + 1 = 0 (а = – 1) уравнение примет вид 0·х = 2, т. е. не имеет решений. При а 0, а – 1 уравнение имеет единственный корень. Ответ: если а = 0, то уравнение не имеет смысла; если а 0 и а = – 1, то корней нет; если а 0 и а – 1, то.

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Аналитический метод Пример 3. При каком значении параметра а уравнение имеет бесконечно много корней? Решение. Данное уравнение заменим равносильным ему: (а – 2)(а + 2)х = (а – 2). При а = 2 данное уравнение принимает вид 0·х = 0, значит х – любое число. Ответ: а = 2

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Графический метод Графический метод. Часто в задачах на линейные уравнения с параметром переходят к линейным функциям вида у = kx + b, где k и b – коэффициенты. В зависимости от задачи (с переменной х и параметром а) рассматриваются графики или в координатной плоскости Оху, или в координатной плоскости Оха.[1] Примечание. Графический метод решения задач с параметром исключительно наглядный способ решения. В любом классе задач есть задачи, которые блестяще решаются данным способом и трудоемко другими.

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Графический метод Геометрически каждое уравнение представляет прямую на плоскости, поэтому возможны три случая расположения двух прямых, т.е. три случая решения: 1. прямые пересекаются уравнение будет имеет один корень 2. прямые параллельны уравнение не имеет корней 3. прямые совпадают уравнение имеет бесконечно много решений

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Графический метод Пример 1. Решите уравнение ах = 1. Решение. Запишем уравнение в виде системы. Каждое уравнение системы изобразим графически в системе координат Оху. Первое уравнение изображается прямой, второе – семейством прямых, проходящих через начало координат. При а = 0, т. е. второе уравнение примет вид у = 0, прямые будут параллельны, а значит, система не имеет корней. При а 0 прямые пересекаются, значит система имеет корень. Ответ: если а = 0, то корней нет; если а 0, то

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Графический метод Пример 2. Решите уравнение |х| = х – а. Решение. Снова запишем уравнение в виде системы:. В системе координат Оху первое уравнение определяет ломаную, второе – семейство прямых, параллельных биссектрисе I и III координатных четвертей. Видно, что при а > 0 нет решений, при а = 0 решений бесконечно много, при а < 0 уравнение имеет единственное решение. Ответ: если а > 0, то нет корней; если а = 0, то решений бесконечно много; если а < 0, то

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 1. Решите уравнение (а + 1)х = 1. Ответ Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 1. Решите уравнение (а + 1)х = 1. Ответ Указание. Рассмотрите случаи, когда параметр а = – 1 и а – 1. Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 1. Решите уравнение (а + 1)х = 1. Ответ Решение. При а + 1 = 0 (а = – 1 ), т. е. 0·х = 1, уравнение не имеет корней. При а + 1 0, т. е. а – 1, уравнение имеет единственный корень. Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 1. Решите уравнение (а + 1)х = 1. Ответ Ответ: если а = – 1, то корней нет; если а – 1, то. Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 2. Найдите число решений уравнения |2 х – 4| = а. Ответ Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 2. Найдите число решений уравнения |2 х – 4| = а. Ответ Указание. Воспользуйтесь графическим методом: в одной системе координат постройте у = |2 х – 4| и у = а. Проанализируйте возможности пересечения ломаной и прямой. Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 2. Найдите число решений уравнения |2 х – 4| = а. Ответ Решение. Запишем уравнение в виде системы Каждое уравнение системы изобразим графически в системе координат Оху. Первое уравнение изображается ломаной, второе – семейством прямых, параллельных оси абсцисс. При а < 0 решений нет; при а = 0 уравнение имеет единственное решение х = 2; при а > 0 уравнение имеет два решения. Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 2. Найдите число решений уравнения |2 х – 4| = а. Ответ Ответ: при а < 0 решений нет; при а = 0 уравнение имеет 1 корень; при а > 0 уравнение имеет 2 корня. Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 3. Решите уравнение х(а + 2) – а(1 – х) = 3. Ответ Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 3. Решите уравнение х(а + 2) – а(1 – х) = 3. Ответ Указание. Раскройте скобки и приведите к виду 2 х(а + 1) = 3 + а. Рассмотрите возможные варианты решения относительно параметра а. Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 3. Решите уравнение х(а + 2) – а(1 – х) = 3. Ответ Решение. Данное уравнение заменим равносильным ему: ах + 2 х – а + ах = 3, 2 ах + 2 х = 3 + а, 2 х(а + 1) = 3 + а. При а + 1 = 0 (а = – 1 ), т. е. 0·х = 2, уравнение не имеет корней. При а + 1 0, т. е. а – 1, уравнение имеет единственный корень. Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 3. Решите уравнение х(а + 2) – а(1 – х) = 3. Ответ Ответ: если а = – 1, то корней нет; если а – 1, то. Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 4. Решите уравнение |х| – |х – 1| = а. Ответ Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 4. Решите уравнение |х| – |х – 1| = а. Ответ Решение Указание Указание. Воспользуйтесь графическим методом: в одной системе координат постройте ломаную у = |х| – |х – 1| и семейство прямых у = а. Проанализируйте возможности пересечения ломаной и прямой.

Решение. Запишем уравнение в виде у = а системы Каждое уравнение системы изобразим графически в системе координат Оху. Первое уравнение изображается ломаной, второе – семейством прямых, параллельных оси абсцисс. При а 1 решений нет; при а = – 1 или а = 1 уравнение имеет бесконечно много решений; при – 1 < а < 1 уравнение имеет единственное решения. Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 4. Решите уравнение |х| – |х – 1| = а. Ответ Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 4. Решите уравнение |х| – |х – 1| = а. Ответ Ответ: если а 1, то решений нет; если а = – 1 или а = 1, то уравнение имеет бесконечно много решений; если – 1 < а < 1, то уравнение имеет единственное решения. Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 5. При каких значениях параметров m и n уравнение 2m – nх = 1 не имеет решений? Ответ Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 5. При каких значениях параметров m и n уравнение 2m – nх = 1 не имеет решений? Ответ Указание. Приведите уравнение к виду nх = 2m – 1. Рассмотрите несколько случаев: -если параметр n = 0, какие значения может принимать параметр m; -если параметр n 0, какие значения может принимать параметр m. Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 5. При каких значениях параметров m и n уравнение 2m – nх = 1 не имеет решений? Ответ Решение. Данное уравнение приведем к равносильному ему: 2m – 1 = nх или nх = 2m – 1. Параметры n и m могут принимать любые значения. Возможно несколько случаев. 1)При или, т. е. 0·х = 2m – 1, уравнение не имеет корней. 2) При или, т. е. 0·х = 0, в уравнении х может быть любым действительным числом. Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 5. При каких значениях параметров m и n уравнение 2m – nх = 1 не имеет решений? Ответ Решение. 3) При n 0 уравнение имеет единственное решение при любых значениях m,. Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Тренажер Задача 5. При каких значениях параметров m и n уравнение 2m – nх = 1 не имеет решений? Ответ Ответ: если n = 0 и m 0,5, то корней нет; если n 0 и m – любое, то ; если n = 0 и m = 0,5, то х – любое число. Решение Указание

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Контрольная работа Все задания связаны между собой так, что ответ любого из задания есть номер следующего задания

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Задание 1 При каком значении параметра с уравнение |х + 1| + |х – 1| = с принимает бесконечно много решений.

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Задание 2 При каком значении параметра k уравнение корень уравнения может быть любое число.

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Задание 3 При каком значении параметра а уравнение |х + 1| + |х – 3| = а – х принимает единственный корень.

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Задание 4 При каком значении параметра а уравнение ах – 5(1 + х) = 3 не имеет корней.

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Задание 5 Найдите значение а, при котором число 3 является корнем уравнения а(1 + х) – х(1 – а) = 4.

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники Коллекция заданий 1. Линейная функция, решение линейных уравнений и неравенств: теория и практика. 28fc41140ab2/111909/?interface=catalog&class=49&subject=16 2. Линейные уравнения с параметрами: теория, практика, контроль b-4a0a-bdb2-28fc41140ab2/111910/?interface=catalog&class=49&subject=16 3. Графические методы решения линейных задач с параметрами: теория, практика, контроль. collection.edu.ru/catalog/rubr/df413b15-266b-4a0a-bdb2- 28fc41140ab2/111914/?interface=catalog&class=49&subject=16 4. Линейная функция в уравнениях с параметром. Теоретические и практические материалы. collection.edu.ru/catalog/rubr/e52cbe9a-ca b6b7-26f833dd4f1f/82299/? 28fc41140ab2/111909/?interface=catalog&class=49&subject= b-4a0a-bdb2-28fc41140ab2/111910/?interface=catalog&class=49&subject=16 collection.edu.ru/catalog/rubr/df413b15-266b-4a0a-bdb2- 28fc41140ab2/111914/?interface=catalog&class=49&subject=16 collection.edu.ru/catalog/rubr/e52cbe9a-ca b6b7-26f833dd4f1f/82299/

Об уравнении с параметром Аналитический метод Графический метод Тренажер Контрольная работа Коллекция заданий Источники 1.В. Голубев, А. Гольдман. О Задачах с параметром. Первоначальные сведения. // Математика – 2002 – 23 – с. 27 – О. Креславская. Задачи с параметром в итоговом повторении.// Математика – 2004 – 18 – с. 23– А. Мерлин, Н. Мерлина. Нестандартные задачи по математике в школьном курсе. // Математика – 2000 – 38 – с. 24 – Т. Косякова. Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметры. // Математика – 2001 – 36 – с. 19 – Информационный источник сложной структуры «Виртуальная математика. Задачи с параметрами. 7 – 11 кл.» df413b15-266b-4a0a-bdb2-28fc41140ab2/