Размещено на

Содержание Точки экстремума функции Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Лагранжа Теорема Коши Раскрытие неопределенностей Правило Лопиталя

Точки экстремума функции Точка Х0 называется Точкой максимума (минимума) функции Y =F(X), Если Для всех Х из некоторой D-окрестности точки Х0 Точки максимума и минимума функции называются ее Точками экстремума. Примеры. 1. Y=X² имеет минимум при Х=0. Рис. 1

2. Y = - |X-3| имеет максимум при Х = 3. Точки экстремума функции Примеры. Рис У = SinX Имеет минимумы при И максимумы при

Теорема 1 (теорема Ферма). Если функция Y = F(X) определена в некоторой окрестности точки Х0, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) в рассматриваемой окрестности значение и имеет в точке Х0 производную, то F(X0)=0. Доказательство. Пусть F(X0) – наибольшее значение функции, то есть для любой точки выбранной окрестности выполняется неравенство F(X) < F(X0). Тогда, если X < X0, Теорема Ферма А если X > X0,

Теорема Ферма Доказательство (продолжение). Переходя к пределу в полученных неравенствах, находим, что из первого из них следует, что F(X0) > 0, А из второго – что F(X0) < 0. Следовательно, F(X0) = 0. Замечание Замечание. В теореме Ферма важно, что Х0 – внутренняя точка для данного промежутка. Например, функция Y = X, рассматриваемая на отрезке [0;1], принимает наибольшее и наименьшее значения соответственно при Х = 1 и Х = 0, но ее производная в этих точках в ноль не обращается.

Теорема 2 (теорема Ролля). Если функция Y = F(X) 1) непрерывна на отрезке [Ab]; 2) дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка; 3) принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть F(A) = F(B), То внутри интервала (Ab) существует по крайней мере одна точка Х = с, A < C < B, Такая, что F(C) = 0. Теорема Ролля Рис. 3

Доказательство. Пусть M И M – наибольшее и наименьшее значения F(X) на [Ab]. Тогда, если M = M, то F(X) = M = M – постоянная функция, и F(X)=0 для любой точки отрезка [Ab]. Если же M<M, то по свойству функции, непрерывной на отрезке, хотя бы одно из значений M Или M достигается во внутренней точке С отрезка [Ab] (так как на концах отрезка функция принимает равные значения). Тогда по теореме Ферма F(C) = 0. Замечание 1. В теореме Ролля существенно выполнение всех трех условий. Приведем примеры функций, для каждой из которых не выполняется только одно из условий теоремы, и в результате не существует такой точки, в которой производная функции равна нулю. Теорема Ролля

Рис. 4Рис. 5 Рис. 6 Действительно, у функции, график которой изображен на рис. 4, F(0)=F(1)=0, Но Х=1 – точка разрыва, то есть не выполнено первое условие теоремы Ролля. Функция, график которой представлен на рис.5, не дифференцируема при Х = 0, а для третьей функции F(-1) не равно F(1). Теорема Ролля Замечание 1 (продолжение)

Замечание 2. Геометрический смысл теоремы Ролля: на графике рассматриваемой функции найдется по крайней мере одна точка, касательная в которой параллельна оси абсцисс. Теорема Ролля Рис. 7

Рассматриваются функции Задача на теорему Ролля Для какой из них выполнены все условия теоремы Ролля? Указание По условию теоремы Ролля функция Y = F(X) 4) непрерывна на отрезке [Ab]; 5) дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка; 6) принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть F(A) = F(B).

Задача на теорему Ролля Решение Проверим выполнение условий теоремы Ролля для каждой из функций: Не выполнено 3-е условие теоремы Ролля; Эта функция не дифференцируема при Х = 1, то есть не выполнено 2-е условие теоремы Ролля; 3) Х = 0 – точка разрыва данной функции, то есть не выполнено 1-е условие теоремы Ролля;

Задача на теорему Ролля Решение (продолжение) Функция Y = ln cos X определена и непрерывна на заданном отрезке; Существует на всем отрезке; Таким образом, все условия теоремы Ролля выполнены. Функция не является непрерывной в точке Х = 1, не выполнено 1-е условие теоремы Ролля. Ответ: 4.

Теоремы Лагранжа Теорема 3 (теорема Лагранжа). Если функция Y=F(X) непрерывна на отрезке [Ab] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [Ab] найдется хотя бы одна точка C, A < C < B, что F(B) - F(A) = F(C) (B – A). Доказательство. Обозначим И рассмотрим вспомогательную функцию F(X) = F(X) - F(A) - (X - A)Q. Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: она непрерывна на [Ab], дифференцируема на (Ab) и F(A)=F(B)=0.

Доказательство (продолжение). Теоремы Лагранжа Следовательно, на интервале (Ab) есть точка С, в которой F(C)=0. Но F(X)=F(X) – Q, То есть F(C) = F(C) – Q. Подставив в это равенство значение Q, получим Откуда непосредственно следует утверждение теоремы. Замечание. Геометрический смысл теоремы Лагранжа: на графике функции Y = F(X) найдется точка, касательная в которой параллельна отрезку, соединяющему точки графика с абсциссами А и B.

Теорема 4 (теорема Коши). Если F(X) И G(X) – функции, непрерывные на [Ab] и дифференцируемые на (Ab), и G(X)0 на (Ab), то на (Ab) найдется такая точка X=C, A<C<B, Что Теоремы Коши Доказательство. Обозначим При этом G(B)-G(A) не равно нулю, иначе по теореме Ролля нашлась бы точка внутри отрезка [Ab], в которой G(X)=0, что противоречит условию теоремы.

Теоремы Коши Доказательство (продолжение). Рассмотрим вспомогательную функцию Для которой выполнены все условия теоремы Ролля (в частности, F(A)=F(B)=0). Следовательно, внутри отрезка [Ab] существует точка Х=с, в которой F(C)=0. Но Подставляя в это равенство значение Q, получаем доказательство утверждения теоремы.

Раскрытие неопределенностей Если функции F(X) И G(X) удовлетворяют на некотором отрезке [Ab] условиям теоремы Коши и F(A) = G(A) = 0, то отношение F(X)/G(X) Не определено при Х=а, но определено при остальных значениях Х. Поэтому можно поставить задачу вычисления предела этого отношения при Вычисление таких пределов называют обычно «раскрытием неопределенностей вида {0/0}».

Теорема 5 (правило Лопиталя). Пусть функции F(X) и G(X) Удовлетворяют на отрезке [Ab] условиям теоремы Коши и F(A)=G(A)=0. Тогда, если существует Правило Лопиталя То существует и Причем Доказательство. Выберем Из теоремы Коши следует, что

Правило Лопиталя Доказательство (продолжение). По условию теоремы F(A)=G(A)=0, поэтому При. При этом, если существует То существует и Поэтому Теорема доказана.

Пример. При A > 0 Правило Лопиталя Замечание 1. Если F(X) Или G(X) Не определены при Х=а, можно доопределить их в этой точке значениями F(A)=G(A)=0. Тогда обе функции будут непрерывными в точке А, и к этому случаю можно применить теорему 3. Замечание 2. Если F(A)=G(A)=0 и F(X) И G(X) Удовлетворяют условиям, наложенным в теореме 3 на F(X) И G(X), к отношению можно еще раз применить правило Лопиталя: И так далее.

Задача 1. Вычислить предел Задача на правило Лопиталя Указание Для того чтобы избавиться от неопределенности, примените правило Лопиталя: Решение Ответ:

Задача на правило Лопиталя Задача 2. Вычислить предел Указание Для того чтобы избавиться от неопределенности, примените правило Лопиталя: Если в результате вновь получится неопределенность, можно применять правило Лопиталя несколько раз. Решение Ответ: 3.

Спасибо за внимание! Размещено на