LOGO Презентация на тему : «Правильные МНОГОГРАННИКИ» Выполнила: ученица 10 «Б» класса Попова Светлана Учитель: Муравьева И.Н год

LOGO Правильный многогранник; Платоновы тела: тетраэдр; кексаэдр; октаэдр; додекаэдр ; икосаэдр ; Формулы для многогранников; Формула Эйлера; Тела Пуансо-Кеплера: большой икосаэдр, большой додекаэдр; малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр; Использование формы правильных многогранников: в природе; человеком.

LOGO выпуклый многогранник, грани которого являются правильными которого сходится одно и то же число ребер. выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер. – правильные выпуклые многогранники их виды ТЕТРАЭДР ГЕКСАЭДР (КУБ) ОКТАЭДР ДОДЕКАЭДР ИКОСАЭДР Название МНОГОГРАННИКОВ пришли из Древней Греции, в них указывается число граней: «адрон» - грань «тетра» - 4 «кекса» - 6 «окто» - 8 «додека» - 12 «окиси» - 20

LOGO (427) – 348 (347) гг. до нашей эры древнегреческий философ-идеалист В учении Платона правильные многогранники играли важную роль Платон считал, что атомы 4-х «стихий» имеют форму правильных многогранников Тетраэдр Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени Икосаэдр Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду Куб Куб – самая устойчивая из фигур – землю Октаэдр Октаэдр – воздух Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. додекаэдр

LOGO Составлен из четырёх равносторонних треугольников Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180º

LOGO Составлен из шести квадратов Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270º

LOGO Составлен из восьми равносторонних треугольников Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240º

LOGO Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324º Составлен из двенадцати правильных пятиугольников Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников

LOGO Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300º Составлен из двадцати равносторонних треугольников Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников

LOGO Правильный многогранник Количество Вид грани ребер вершин граней Тетраэдр 644 Куб 1286 Октаэдр 1268 Додекаэдр Икосаэдр Формулы для правильных многогранников

LOGO Правильный многогранник Объем Площадь поверхности ТетраэдрV= (a³2)/12S= a²3 КубV= a³S= 6a² ОктаэдрV= (a³2)/3S= 2a²3 ДодекаэдрV= a³(15+75)/4S= 3a²5(5+25) ИкосаэдрV= 5a³(3+5)/12S= 5a²3

LOGO (1707 – 1783 гг.) Немецкий математик и физик Формула Эйлера Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2. Г + В = Р + 2 Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2. Г + В – Р = 2

LOGO Правильный многогранник Число граней и вершин (Г + В) рёбер (Р) Тетраэдр = 86 Куб = 1412 Октаэдр = 1412 Додекаэдр = 3230 Икосаэдр = 3230

LOGO Звездчатые многогранники (правильные невыпуклые многогранники). Тела Большой икосаэдр Малый звездчатый додекаэдр Большой додекаэдр Большой звездчатый додекаэдр

LOGO (1571 – 1630 гг.) немецкий астроном В 1619 году описал два звездчатых многогранника: большой звездчатый додекаэдр и малый звездчатый додекаэдр Занимался теорией полуправильных выпуклых многогранников

LOGO Французский математик Л. Пуансо в 1810 году построил четыре правильных звездчатых многогранника: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр. В 1812 году французский математик О. Коши доказал, что кроме пяти «платоновых тел» и четырех «тел Пуансо - Кеплера» больше нет правильных многогранников.

LOGO Впервые был описан Луи Пуансо в 1809 г. Его грани - пересекающиеся треугольники. Вершины большого икосаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра. Также был описан Пуансо в 1809 г. Грани большого додекаэдра - пересекающиеся пятиугольники. Его вершины совпадают с вершинами описанного икосаэдра.

LOGO Грани малого звездчатого додекаэдра – пентаграммы. У каждой вершины соединяются пять граней. Вершины малого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра. Впервые был описан Кеплером в 1619 г. Большой звездчатый додекаэдр также описан Кеплером. Грани, как и у малого звездчатого додекаэдра, состоят из пентаграмм. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.

LOGO Использование формы правильных многогранников Природа Человек К р и с т а л л ы В и р у с ы А р х и т е к т у р а, и с к у с с т в о Г о л о в о л о м к и Б ы т о в ы е п р е д м е т ы У п а к о в к и

LOGO

LOGO Правильные многогранники встречаются везде, в том числе и в природе. Например, скелет одноклеточного организма - феодарии похож на икосаэдр. По- видимому, из всех многогранников с тем же числом граней именно он имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной поверхности. Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль (NaCl), без которой мы не можем обойтись. А ведь её кристаллическая решётка имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами (K[Al(SO4)2] 12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. И таких примеров – бесконечность, одна маленькая снежинка состоит из тысячи и тысяч различных многогранников.

LOGO

LOGO Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Ещё с давних времён зодчие использовали многогранники в строительстве различных архитектурных сооружений. Эти геометрические фигуры казались людям таинственными и завораживающими, им отдавалось высокое предпочтение, что видно из образа египетских пирамид, построенных ещё в древнейшие времена. Взять к примеру художников, Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Так на этой картине в левом верхнем углу изображен едва заметный икосаэдр. Сальвадор Дали же на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.. Что так влекло простой народ к этим удивительным фигурам, не известно и по сей день, и учёным остаётся только предполагать.