В6 Решение задач с геометрическим содержанием

Проверяет умение решать планиметрическую задачу на нахождение геометрической величины (длины). Чтобы успешно её решить, у учащихся должен быть отработан аппарат стандартных вычислений, определения тригонометрических функций угла, теорема Пифагора. Несмотря на то, что эта задача вычислительного характера, для её решения важно владение теоретическим материалом. От учащихся и не требуется умение грамотно записывать решение и приводить обоснования, но необходимо владеть знаниями на уровне применения этих свойств, проводить вычисления.

Основные соотношения в треугольнике Неравенство треугольника: a + b > c; a + c > b; b + c > a Сумма углов: α+β+γ= 180˚ Против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона. Против равных сторон лежат равные углы, и обратно, против равных углов лежат равные стороны. a bc

a b a c – проекция катета bcbc h Площадь: Тригонометрические соотношения: Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Радиусы окружностей: Высота, опущенная на гипотенузу: Катеты: Прямоугольный треугольник с

a haha a bc a b Площадь треугольника

A B C a b c mama Медиана треугольника Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника). Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями.

Равнобедренный треугольник a bb Углы, при основании треугольника, равны Высота, проведенная из вершины, является биссектрисой и медианой

Равносторонний треугольник Все углы равны Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой. Центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Радиусы окружностей:

О А С В Центральный и вписанный углы

O O O O Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобедренная. Описанная окружность Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой:

O a b cd Вписанная окружность Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой: a + b = c + d Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.

O r R Правильный многоугольник: Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой. Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают. Сторона правильного n–угольника: Площадь правильного n–угольника:

O A B C Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки. Свойство касательной к окружности

Диагонали делятся точкой пересечения пополам: Площадь: d1d1 d2d2 A BC D a b haha Параллелограмм: Середина диагонали является центром симметрии. Противоположные стороны и углы равны. Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 43. Найдите высоту этого треугольника. Ответ: 129

Ответ: 12 М К Острый угол ромба равен 30˚. Радиус вписанной окружности равен 3. Найдите сторону ромба

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию. Ответ: 12 У Х 12

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 19. Найдите ее среднюю линию.

Ответ: -0,6 В параллелограмме ABCD sin A=0,8. Найдите cos B.

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 6. Высота трапеции равна 10. Тангенс острого угла равен 2. Найдите большее основание. Ответ: 16

Точки А,В и С, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 1:3:5. Найдите больший угол треугольника АВС. Ответ дайте в градусах. Ответ: 100 Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:9:26. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Острые углы прямоугольного треугольника равны 68˚ и 22˚. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. Ответ: 23˚ 22˚68˚ 45˚

х у

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Радиус описанной окружности равен 39. Найдите высоту трапеции. В четырехугольник ABCD вписана окружность CD=37, AB=44. Найдите периметр АВСД

Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной.