Рациональные неравенства Алгебра 9 класс

Неравенства Неравенства линейные квадратные рациональные

Линейные неравенства Линейным неравенством с одной переменной х называется неравенство вида ах + b 0, где а 0. Решение неравенства – значение переменной х, которое обращает неравенство в верное числовое неравенство. Множество частных решений называют общим решением.

Пример 1: Являются ли числа 3, -5 решением данного неравенства 4 х + 5 < 0 При х = 3, 43+5=17, 17>0 Значит х=3 не является решением данного неравенства Значит х=3 не является решением данного неравенства При х=-5, 4(-5)=-15, -15<0 При х=-5, 4(-5)=-15, -15<0 Значит х=-5 является решением данного неравенства Значит х=-5 является решением данного неравенства

Два неравенства f(х)<g(х) и r(х)<s(х) называют равносильными, если они имеют одинаковые решения. Правила (преобразования неравенств, приводящие к равносильным неравенствам): 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком (не меняя при этом знака неравенства) Например: 3 х + 5 < 7 х 3 х х < 0

2: а) обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знака неравенства. б) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, положительное при любых значениях переменной, и сохранить знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному. Например: а)8 х – 12 > 4 х 2 ( :4) 2 х – 3 > х 2 б)(2 х + 1)(х 2 + 2) < 0 ( ( х 2 + 2)) (2 х + 1) < 0

3.а) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный ( < на >, > на <). б) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному. Например: а) - 6 х х – 15 < 0 (: (-3)) 2 х 3 – х + 5 > 0 б) (3 х – 4 )(-х 2 – 2) > 0 (: (-х 2 – 2)) 3 х – 4 < 0

Решите неравенство: 5 х + 3(2 х – 1)>13 х - 1 Решение: 5 х + 6 х – 3 >13 х – 1 5 х + 6 х – 13 х > 3 – 1 -2 х > 2 (: (-2)) х < -1 \\\\\\\\\\\\\\\\\ Ответ: х < -1 или (-; -1)

Квадратные неравенства Неравенства вида ах 2 + bх + с > 0, где а 0, а,b,с - некоторые числа, называются квадратными. Методы решения графический интервалов

Алгоритм применения графического метода: 1. Найти корни квадратного трехчлена ах 2 +bх+с, т.е. решить уравнение ах 2 +bх+с=0. 2. Отметить найденные значения на оси х в координатной плоскости. 3. Схематично построить график параболы. 4. Записать ответ в соответствии со знаком неравенства. Частные случаи при D < 0: а) а < 0, ах 2 + bх + с 0 нет решений ах 2 + bх + с < 0 (-;+) б) а > 0 ах 2 + bх + с > 0 (-;+) ах 2 + bх + с 0 нет решений

Решите неравенство: 3 х + 9 < 2 х 2 Ответ: х 3 или (-;-1,5)U(3;+).

Алгоритм выполнения метода интервалов: 1. Разложить на множители квадратный трехчлен, используя формулу ах 2 +bх+с = а(х-х 1 )(х-х 2 ), где х 1,х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 +bх+с=0. 2. Отметить на числовой прямой корни х 1 и х Определить знак выражения а(х-х 1 )(х-х 2 ) на каждом из получившихся промежутков. 4. Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим знаку неравенства знаком (если знак неравенства, то выбираем промежутки со знаком «+»).

Решите неравенство: х 2 – 6 х + 8 > 0 Решение: Разложим квадратный трехчлен х 2 – 6 х + 8 на множители. Решим уравнение х 2 – 6 х + 8 = 0 Д = 36 – 32 = 4, 4>0, два корня х 1, 2 = (6 ± 2) : 2 х 1 = 4, х 2 = 2 х 2 – 6 х + 8 = (х – 2)(х - 4) Отметим на числовой прямой корни трехчлена 2 и 4. Определим знаки выражения (х-2)(х-4) на каждом из промежутков Ответ: х 4 или (-;2)U(4;+).

Метод интервалов более детально будет изучен при решении рациональных неравенств. Вопросы: Какие виды неравенств были изучены на уроке? Дайте определение линейных неравенств. Дайте определение квадратных неравенств. Какие методы решения квадратных неравенств применяются?