Выполнил студент : Санкт - Петербург 2012 Министерство образования Российской Федерации Санкт - Петербургский государственный архитектурно - строительный университет А МНЕ НЕ ЖАЛКО !

где x - параметр, определяющий некоторую координату исследуемого объекта, p(x), q(x), f(x) – заданные функции. Для решения задачи, определяемой (1), необходимо задать дополнительные условия, определяющие состояние исследуемого объекта при некоторых заданных значениях координатной переменной x. Условия, определяющие состояние объекта в заданных точках x, называются граничными. Таким образом, для нахождения решения уравнения (1) необходимо определить граничные условия. Например, следующим образом : где Y0, Yk – фиксированные числовые значения Y0 и Yk, определяющие значения исследуемой координаты. (1) (2)

Одним из численных методов, применяемых для решения таких уравнений, является метод конечных разностей, называемый также методом сеток. При использовании метода конечных разностей решение задачи осуществляется в результате последовательной реализации четырех этапов : 1) дискретизация области изменения аргумента х ; 2) переход от непрерывной дифференциальной математической модели к конечно - разностной модели исследуемого объекта ; 3) оформление разностного аналога краевых условий задачи ; 4) решение полученной в результате выполнения первых трех шагов математической системы линейных алгебраических уравнений.

Первый этап : Для дискретизации области изменения аргумента х интервал изменения х разделим на n равных частей. При этом формируется сетка с (n+1) равноотстоящими узлами. Расстояние между узлами ( шаг сетки ) равен h = (xk - x0 )/n, а значения х i в узлах сетки легко вычисляются по формуле х i = х 0 + i * h (i=0,1,2,...,n). Второй этап : Реализуется на базе классического определения производной как предела : Из (3), получим выражения для аппроксимации первой производной yi', учитывающие значения функции в двух симметричных относительно х i узлах : Для вывода разностной формулы второй производной воспользуемся тем, что y'' = ( y' )', а в записи первой производной используем оба варианта представления производной в формулах (4): (3) (4) (5)

Подставив выражения (4) и (5) в формулу (1), получим : Очевидно, что формула (6) будет верна только для внутренних узлов х i (i=1,2,…,n-1). Умножим (6) на h2 и приведем подобные члены. В итоге получим Введем дополнительные обозначения и запишем (7), используя обозначения (8). Отметим, что при этом необходимо изменить знак перед коэффициентом C i. Таким образом, мы получили систему уравнений (9), содержащую (n-1) линейное алгебраическое уравнение относительно (n+1) неизвестных yi (i =0, 1, 2, …,n). Окончательное оформление системы уравнений выполняется при записи разностного аналога краевых условий задачи. Недостающие уравнения мы получаем из краевых условий : (7) (8) (9) (10) (6)

Запишем эту систему для случая n = 5. Полученная система линейных алгебраических уравнений имеет трех диагональную матрицу. В первом уравнении этой системы коэффициенты А 0 = 0, С 0 = -1, а В 0 = 0. В пятом уравнении А 5 = 0, С 5 = -1, а В 5 = 0. Одним из эффективных методов решения систем уравнений такого типа является метод прогонки. (11)

Полученная нами система уравнений (11) является частным случаем систем уравнений с трех диагональными ленточными матрицами. Ниже приведена общая форма записи таких систем : (12)

Для разработки общей методики решения краевых задач в среде программы MS Excel рассматривается решение конкретного случая краевой задачи, определяемой уравнением (1), и коэффициентами при граничных условиях Запишем рассматриваемый пример при n, равном 5. Таким образом, число узлов сетки равно 6, а формат системы соответствует (11). Решение системы (12) ищется в виде : где α i, β i - неизвестные про гоночные коэффициенты [4]. Значения коэффициентов α i и β i, как показано в [4], вычисляются по формулам прямого хода метода прогонки. Запишем уравнение (15) для i = 0: (13) (14) (15) (16)

Приведём первое уравнение системы (12) к виду (16). Для этого перенесем член B0Y1 в правую часть и разделим уравнение на – С 0. Сравнивая (16) и (17) получаем значения про гоночных коэффициентов α 0 и β 0. Рассматривая остальные уравнения системы (12) получим общие рекуррентные формулы для коэффициентов α i и β i. Запишем систему уравнений, состоящую из уравнения (16) для i = n-1 и последнего уравнения системы (12): (19) (18) (17) (20)

Решая систему (20) и используя формулу (15) при i = n, находим выражение для Yn и соответствующий ему коэффициент прогонки β n : Определив значение β n, по формулам (15) находим в обратном порядке решение системы (12): Значение А 0 = 0, С 0 =-1, а значение В 0 =0. Аналогично для последнего уравнения имеем значение А n = 0 и С n =-1, В n =0. (21) (22)

Составляем матрицу и решаем ее

С помощью метода наименьших квадратов найти функцию, отображающую зависимость y от x

Составим канонический интерполяционный полином