Функциональные уравнения и методы их решений Калинина Елена Петровна Учитель математики МОУ Гимназия 5 Г. Саратов

Введение Функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Примерами подобных уравнений могут являться уравнения вида (1)

Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это Они задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность…

1. Параметризуемые уравнения Функциональные уравнения, в которых требуется найти решение в классе функций из некоторого параметрического семейства, называются параметризуемыми.

Пример: Постановка задания Существует ли линейная функция у = f(x), удовлетворяющая при всех х соотношению 2f(x + 2) + f (4 - x)= 2 х + 5? Решение По определению, линейная функция это функция, которая представима в виде f(x) = kx + b. Числовые параметры k и b однозначно характеризуют линейную функцию, так как равенство при всех значениях переменной х равносильно равенствам,. Этот факт является частным случаем следующего важного утверждения, которое мы будем неоднократно использовать:

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной (в частности, совпадают и степени многочленов).

Поэтому нашу задачу можно переформулировать следующим образом: существуют ли числа k и b такие, что при всех х верно равенство (3) 2(k(x + 2)+b) + (k (4 - х)+b)= 2 х + 5? Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим kx + 8k + 3b = 2 х + 5 при всех х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной, мы преобразуем задачу к виду: существуют ли числа k и b такие, что верны равенства (4) В этом виде задача просто сводится к вопросу о совместности системы (4). Легко видеть, что эта система имеет единственное решение k = 2, b = -11/3. Итак, существует и притом единственная линейная функция f(x) = 2 х-11/3, удовлетворяющая исходному функциональному уравнению.

2. Общие функциональные уравнения Решим предыдущий пример в общем виде. Заменим х на х – 2. Тогда уравнение (1) примет вид (5) 2f(х)+ f(6 - х) = 2 х + 1 при всех х. Это равенство можно рассматривать как обычное уравнение относительно двух неизвестных А = f(x) и B= f(6 - х); переменная х в этом случае будет играть роль параметра: 2А + В = 2 х+ 1.

Поскольку у нас две неизвестные величины, хотелось бы получить еще одно уравнение относительно А и В. С этой целью заменим в равенстве (5) х на 6 - х (ведь оно верно при всех значениях х; поэтому вместо х можно ставить любое число или выражение): 2f(6 - х) + f(x) = -2 х + 13 при всех х. В терминах переменных А = f(x) и В=f(6 - х) это равенство означает, что 2В+А = -2 х+ 13. Итак, справедлива система Исключая из этих равенств В = f(6 - х), получим А =f(x) = 2 х -11/3.

3. Классические функциональные уравнения В математике есть несколько типов относительно простых функциональных уравнений, решения которых хорошо известны каждому математику. Самым простым из них является следующее уравнение для функций вида у = kx (оно рассматривалось еще Коши): f(x + у) = f(x) + f(y) (15) для всех действительных х.

Пример: Постановка задания Задана функция, причем (16) f(x + у) = f(x) + f(y) для всех рациональных чисел х и у. Известно, что. Найти. Решение Функции вида f(x) = kx удовлетворяют этому уравнению. Докажем, что никаких других решений уравнение (16) не имеет. Рассмотрим уравнение (16) при у = 0: f (x) = f(x) + f(0). Отсюда следует, что f (0) = 0. При у = -х уравнение (16) примет вид f (0) = f (x) + f (-x), откуда f(-x) = -f(x). Таким образом, всякое решение уравнения (16) является нечетной функцией. Положим в (16) у = х. Это даст следующее соотношение: при всех х Q. При у = 2 х получим: f (Зх) = f(x) + f(2x) = f(x) + 2f(x) = 3f(x) при всех х Q. Аналогично, при y = Зx из (16) имеем при всех х Q

Повторив эту процедуру, мы получим, что для любого натурального п верно равенство (при п = 1 оно является тождеством): f (nх) = n f (х) (17) при всех х Q. Строго это можно доказать методом математической индукции. Справедливость равенства (17) при п = 1 (основание индукции) уже установлена. Допустим, что (17) доказано для некоторого натурального k; докажем его справедливость для значения п = k + 1: f ((k + 1) x) = f (k + х) = f (k x) + f (x) = = kf(x) + f(x) = (k + 1) f (x). Из нечетности функции f(x), которую мы установили в самом начале нашего решения, следует, что равенство (17) верно при всех целых п (а не только натуральных). Мы уже можем решить исходную задачу в том виде, как она была поставлена на экзамене. Поскольку 10 = (-35), из (17) при п = -35, х = имеем f (10) = -35 f, так что Но мы двинемся дальше и докажем, что на самом деле верно соотношение (18) при всех х Q, где г произвольное рациональное число.

Положим в (17) х=. Отсюда, так что (18) справедливо для. Если в этом равенстве положить t = mх, m Z, то, используя (17), мы получим:, то есть (18) справедливо для любого рационального г. В частности, при х = 1 (18) даст f(r) = rf (1). Если обозначить f (1) через k, а вместо переменной r использовать переменную х, то это соотношение можно записать в виде (19) f(x)=kx. Таким образом, если функция f(x) является реше­нием уравнения (16), то она дается формулой (19). Теперь вернемся к исходной задаче. Так как f (10) = k 10, мы можем определить коэффициент пропорциональности. Поэтому f(x) = х для рациональных х и, в частности,. Ответ:

В более сложных задачах уравнение (15) f(x + у) = f(x) + f(y) может быть «спрятано», и нужны определенные преобразования (обычно вводится новая неизвестная функция), чтобы свести дело к этому классическому уравнению.

4. Примеры решения функциональных уравнений методом подстановки. Пример 1. Найти f(x) Решение 1) Пусть тогда 2) Подставим в исходное уравнение, получим 3)Заменим z на получим или после преобразований в правой части уравнения:

4)Итак, получили два уравнения: 5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением, получим: Тогда

Пример 2. Найти x, если Решение Рассмотрим уравнение: Получим: Если функция нечетная то -f(3x)=f(-3x) Проверим: -нечетная Значит f(2x+1)=f(-3x) 2x+1=-3x x=-1/5

Пример 3. Решите неравенство: Решение Сначала решим уравнение: Преобразуем уравнение: выделим полный квадрат f(2x-1)= -f(x) f(2x-1)= f(-x) 2x-1=-x x=1/3 Вернемся к решению неравенства: построим графики функций и найдем значения х, при которых f(2x-1)>f(-x) Слайд 19 Слайд 19 Получим: x>1/3 Ответ: Слайд 20

Пример 4. Решить неравенство: если функция f(x) и g(x) удовлетворяют системе Решение Умножим второе уравнение на -1 и сложим с первым 1)Выразим из первого уравнения g(x-1): Найдем g(x). Введем замену x-1=t => x=t+1 Получим

2)Вернемся к системе: Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым: Получим: Введем замену Получим:

Решим неравенство: Ответ:

Список литературы Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. – Самара: В мире науки, 1999 Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. – К.: Вища школа. Головное издательство, – 96 с Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений // Соросовский образовательный журнал, 2001, 2, с. 116 – 120 Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.– СПб.: Лань, – 160 с Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов - М: Просвещение, 1991 г. Смышляев В.К.. Практикум по решению задач школьной математики. – М: Просвещение, 1978 г.