Матеріали для самостійного вивчення теми

Зростання та спадання функції. Екстремальні точки. Локальний екстремум функції. Найбільше і найменше значення функції на проміжку Загальна схема дослідження функції для побудови графіків.

1. Ознайомся і вивчи означення та теореми з даної теми, користуючись підручником та опорним конспектом 2. Розглянь розв язування типових вправ 3. Виконай тренувальний тест 4. Застосуй набуті знання й навички до виконання тренувальних вправ 5. Виконай домашнє завдання

Достатня умова спадання функції. Якщо у кожній точці проміжку ( а ; в ) f(x)<0, тоді функція монотонно спадає на цьому проміжку

Достатня умова зростання функції. Якщо у кожній точці проміжку ( а ; в ) f(x)<0, тоді функція монотонно зростає на цьому проміжку

Якщо в кожній точці деякого інтервалу ( а, в ) виконується рівність f(x)=0, то функція у = f(x) є сталою на цьому проміжку

Кроки Приклад для функції Y=2X³­3X²-36X+5 1.Знайти область визначення функції і інтервали на яких функція неперервна. Обл. визначення: R Функція неперервна для X є R 2.Знайти похідну функціїf '(x)=6x²­ 6x-36 3.Знайти критичні точки (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує). f(x)=0 якщо х= -2,х= 3 4. У кожному інтервалі, на які область визначення функції розбивається критичними точками, визначити знак похідної і характер зміни функції (за допомогою достатніх умов монотонності) 5.Відносно кожної критичної точки визначити чи є вона точкою максимума, мінімума або не є точкою екстремума Х=-2 точка максимума Х=3 точка мінімума. 6.Записати висновок дослідження функції проміжки монотонності і екстремуми f(x) зростає, якщо х є(-;-2) і х є( 3;) f(x)cпадає, якщо х є(-2;3) Xmax= -2,Ymax=f(-2)=49 Xmin=3, Ymin=f(3)= f f x

Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку. Функція, неперервна на відрізку досягає свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку у критичних точках, які належать відрізку, або на його кінцях.

КрокиПриклад для функції Y=2x³-3X² - 36x +5 на відрізку[0;4] 1.Знайти похідну f´ (x)f ´(x)=6x² -6x Знайти на даному відрізку критичні точки(точки, в яких f´(x)=0 або не існує) f ´(x)=0 якщо х=-2 і якщо х=3 Відрізку [0;4] належить тільки х=3 3.Знайти значення функції у критичних точках і на кінцях відрізку. f(0)=5 f(3)=-76 f(4)=-59 4.З одержаних значень вибрати найбільше та найменше значення. max f(x)=f(0)=5 [0;4] min f(x)=f(3)=-76 [0;4]

1.* Знайти Д ( у ). * Дослідити на парність. * Дослідити на періодичність. * Знайти нулі функції та точки перетину графіка з віссю ОУ. 2.* Знайти F(x). * Знайти критичні точки. * Знайти проміжки монотонності та точки екстремуму. 3. * Знайти F(x). * Розв язати рівняння F(x) = 0. * Знайти точки перегину та проміжки випуклості і вогнутості. 4. * Знайти асимптоти : вертикальні та похилі ( горизонтальні як частковий випадок ). 5.* При потребі обчислити координати контрольних точок. 6. * Побудувати графік функції. 7. * Знайти Е ( у ).

1.Зразок оформлення розвязання завдання на дослідження функції на монотонність. у= 4х 3 +6х 2 -8 Розвязування. 1)D(у)=R 2)у'=12х 2 +12х=12х(х+1) 3)12х(х+1)0, якщо х(х+1)0 4)12х(х+1)0, якщо х(х+1) 0 Розвяжемо кожне з нерівностей методом інтервалів g(х)= х(х+1); D(g)=R нулі функції: g(х)=0, х(х+1)=0; х 1 =0; х 2 =-1 g(х) 0, якщо х Є (-;-1) та х Є (0;+) g(х) 0, якщо х Є (-1; 0) Маємо: функція у= 4х 3 +6х 2 -8 – зростає, якщо х Є (-;-1) та х Є (0;+), спадає, якщо х Є (-1; 0) Відповідь: (-1; 0) – інтервал спадання функції (-;-1) U (0;+) - інтервал зростання функції.

2. Зразок оформлення розв язання вправи на знаходження найбільшого та найменшого значення функції на проміжку. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f ( х ) = х 3 – 3 х 2 – 45 х + 2 на проміжку [-5; 7] Розв язання : f ( х ) = 3 х 2 – 6 х – 45 f ( х ) існує для всіх х є R, тоді критичних точок немає, а стаціонарні точки найдемо за умови f ( х ) = 0, тоді 3 х 2 – 6 х – 45 х 2 – 2 х – 15 = 0 х 1 = -3; х 2 = 5 -3 Є [-5; 7]; 5 Є [-5; 7] f (-5) = (-5)3 – 3 · (-5)2 – 45 · (-5) + 2 = 27 f (-3) = (-3)3 – 3 · (-3)2 – 45 · (-3) + 2 = 83 f (5) = 53 – 3 · 52 – 45 · = f (7) = 73 – 3 · 72 – 45 · = < < 27 < 83 min f ( х ) = f ( 5 ) = max f ( х ) = f ( -3 ) = 83 [-5; 7]

Тест 1. Знайдіть проміжки зростання функції а ) у = 3 х х +8 1) (-;-2) 2) (-2;+) 3) (-;2) 4) (2;+), б ) у = х 3 -3 х 1) (-1;1) 2) (-;-1) і (1;+) 3) (-;-1) 4) (1;+), в ) у = е х – х 1) (-1;+ ) 2) (-;1) 3) (0;+) 4) (- ;0)

Тест 2. Знайдіть проміжки спадання функції а ) у = х 3 - х 1) (-1;1) 2) (-;-1) і (1;+) 3) (-;-1) 4) (1;+), б ) у = 10 х х )(21;+ ) 2) (-;21) 3) (-21;+) 4) (- ;-21)

1. Вивчити § 15, §16, §17, §18, § Відповісти на запитання стор. 96, стор.102 стор Виконати вправи : 47(9, 11, 12), 48 (10, 13, 16) 50 (3, 6, 9 ) 52 (5, 12)