Два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Для независимых событий теорема умножения имеет следующий вид: Р (АВ) = Р (А) · Р (В)

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Результаты двух игр не зависят друг от друга => события являются независимыми. 0,52 · 0,3 = 0,156 Ответ: 0,156

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D. На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D. Выборы пути движения в одну сторону или в другую независимы => 0,5 · 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,0625 Ответ: 0,

Чтобы попасть в точку F пенсионеру встречаются 2 развилки в А и в В. В А выбор из 2 дорог => вероятность 0,5 В В выбор из 4 дорог => Вероятность 0,25 Пути выбора независимы => 0,5 · 0,25 = 0,125 Ответ: 0,125

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8°С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше Температура тела ниже чем 36,8°С и температура тела ниже чем 36,8°С события противоположные => 1 – 0,81 = 0,19 Ответ: 0,19

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. Вероятность того, что батарейка исправна равна 1 – 0,06 = 0,94. Покупатель выбирает случайную упаковку, батареек в упаковке две и каждая сама по себе => события являются независимыми. 0,94 · 0,94 = 0,8836 Ответ: 0,8836

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых. Вероятность попадания равна 0,8 => вероятность промаха 1 - 0,8 = 0,2. Три попадания и два промаха: 0,8 · 0,8 · 0,8 · 0,2 · 0,2 = 0, , ,02 Ответ: 0,02

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Вероятность уничтожения цели не менее 0,98 => вероятность не уничтожения цели равна 1 - 0,98 = 0,02 Если производится 2 выстрел, то 1 выстрел – это промах => 1) Вероятность промаха равна 0,6. 0,6 > 0,02 2) Вероятность промаха равна 0,4. Выстрелы независимы друг от друга => 0,6 0,4 = 0,24 > 0,02 3) Вероятность промаха равна 0,4 => 0,6 0,4 0,4 = 0,096 > 0,02 4) Вероятность промаха равна 0,4 => 0,6 0,4 0,4 0,4 = 0,0384 > 0,02 5) Вероятность промаха равна 0,4 => 0,6 0,4 0,4 0,4 0,4 = 0,01536 < 0,02 => достаточно 5 выстрелов Ответ: 5

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. 1 способ: Перегорание 1 лампы и 2 лампы события независимые => 0,3 0,3 = 0,09 Хотя бы 1 лампа не перегорит: 1 – 0,09 = 0,91 Ответ: 0,91

Два события называются несовместными (несовместимыми), если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Два события называются совместными (совместимыми), если появление одного из них не исключает появления другого.

Вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

2 способ: Не перегорание 1 лампы равно 1- 0,3 = 0,7 Не перегорание 2 лампы равно 1 – 0,3 = 0,7 Не перегорание 1 и 2 лампы одновременно равно 0,7 0,7 = 0,49 => 0,7 + 0,7 – 0,49 = 0,91 Ответ: 0,91

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Так как вопросов, которые одновременно относятся к двум темам, нет => события несовместные 0,2 + 0,15 = 0,35 Ответ: 0,35

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Вероятность того, что 1 автомат исправен равна 1 - 0,05 = 0,95 Вероятность того, что 2 автомат исправен равна 1 - 0,05 = 0,95 Вероятность того, что оба автомата исправны равна 0,95 0,95 = 0,9025 Вероятность того, что хотя бы один автомат исправен равна вероятности совместных событий 0,95 + 0,95 – 0,9025 = 0,9975 Ответ: 0,9975

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Вероятность того чайник прослужит больше двух лет равна 0,89. (А) Вероятность того, что чайник прослужит ровно 2 года равна 0. (В) Вероятность того, что чайник прослужит больше года, но меньше двух лет - ? (С) Вероятность того чайник прослужит больше года равна 0,97. (РЕЗУЛЬТАТ СОВМЕСТНОГО СОБЫТИЯ) Р (А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) 0,97 = 0, ? => 0,97 – 0,89 = 0,08 Ответ: 0,08

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей 1 очко, если проигрывает 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Вероятность выигрыша : 0,4 Вероятность проигрыша : 0,4 Вероятность ничьей : 1 – 0,4 – 0,4 = 0,2 4 очка в двух играх (1+3) (3+1) (3+3) Команда играет две игры как независимые события, но возможны 3 варианта развития событий => 1 вариант: Р = 0,2 0,4 = 0,08 2 вариант: Р = 0,4 0,2 = 0,08 3 вариант: Р = 0,4 0,4 = 0,16 Все варианты развития несовместны друг с другом = > 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32 Ответ: 0,32