Доведіть, що середини сторін просторового чотирикутника будуть вершинами паралелограма. А В СFS LND

Дві прямі називаються мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині. Означення М a b a b

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIi Наочне уявлення про мимобіжні прямі дають дві дороги, одна з яких проходить по естакаді, а друга під естакадою.

a b a b

Знайдіть на малюнку паралельні прямі. Назвіть паралельні прямі та площини. Знайдіть мимобіжні прямі.

Якщо одна з двох прямих лежить в площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, яка не належить першій прямій, то ці прямі мимобіжні. Ознака мимобіжних прямих D В АВ СD А C ?

а II b а II b Три випадки розміщення двох прямих в просторі а b а bМa b a b a b

Через вершину А ромба АВСD проведена пряма а, паралельно діагоналі ВD, а через вершину С – пряма b, яка не лежить в площині ромба. Довести, що: а) а та СD перетинаються; б) а та b мимобіжні прямі. В b a b aА C ? abD

А D С В B1B1 С1С1 D1D1 А1А1 Як розміщені прямі 1) AD 1 та МN; 2) AD 1 та ВС 1 ; 3) МN та DC? N M

А D С В B1B1 С1С1 D1D1 А1А1 Доведіть, що прямі 1) AD та C 1 D 1 ; 2) A 1 D та D 1 C; 3) AB 1 та D 1 C мимобіжні. N M

А D СВ B1B1 С1С1 D1D1 А1А1 Основа призми АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – трапеція. Які з пар прямих будуть мимобіжними? 1) D 1 C та C 1 D; 2) C 1 D та AB 1 ; 3) C 1 D та AB; 4) AB та CD.

Через кожну з двох мимобіжних прямих проходить площина, параллельна другій прямій, й до того ж тільки одна. Теорема про мимобіжні прямі D С B E A

півплощина границя Будь – яка пряма а, яка лежить у площині, розділяє цю площину на дві частини, які називають півплощинами. Пряма а називається границею кожної з цих півплощин. а

Кути зі співнапрямленими сторонами A О О1О1О1О1 О2О2О2О2 A1A1A1A1 В2В2В2В2 A2A2A2A2 О3О3О3О3 A3A3A3A3

Якщо сторони двох кутів відповідно співнапрямлені, то такі кути рівні. Теорема про кути зі співнапрямленими сторонами О О1О1О1О1 A1A1A1A1 A B1B1B1B1 B

Кут між прямими a b Нехай - той з кутів, який не перебільшує будь – який з трьох інших кутів. Тоді говорять, що кут між прямими, які перетинаються дорівнює.

a b 30 0 n m Кут між прямими m та n Кут між прямими а та b 30 0.

Угол между скрещивающимися прямыми а b а ba bb М Через произвольную точку М 1 проведем прямые m и n, соответственно параллельные прямым a и b. Угол между скрещивающимися прямыми a и b равен mn

Кут між мимобіжними прямими а b а ba b М Точку М можна вибрати довільно. m В якості точки М зручно взяти будь – яку точку на одній з мимобіжних прямих.

Пряма СD проходить через вершину трикутника АВС та не лежить в площині АВС. E та F – середини відрізків АВ та ВС. Знайдіть кут між прямими СD та EF, якщо DCA = 60 0 D В EF СD EF СDА C ? F E

Пряма МА проходить через вершину квадрата АВСD та не лежить у площині квадрата. Доведіть, що МА та ВС – мимобіжні прямі. Знайдіть кут між мимобіжними прямими МА та ВС, якщо МАD = М D МА ВС С А ? B

т Пряма m паралельна діагоналі ВD ромба АВСD та не лежить в площині ромба. Доведіть, що а) m та АС – мимобіжні прямі – та знайдіть кут між ними; б) m та AD – мимобіжні прямі – знайдіть кут між ними, якщо АВС = А В D С 128 0

АD С А1А1 B1B1 С1С1 D1D1 В На рисунку АВСD – паралелограм, АВС = 130 0, АА 1 II BB 1 II CC 1 II DD 1 та АА 1 = BB 1 =CC 1 =DD 1. Знайдіть кут між прямими АВ та А 1 D 1. Розгляньте різні способи.

АD С А1А1 B1B1 С1С1 D1D1 В На рисунку АВСD – паралелограм, ВСC 1 = 120 0, АА 1 II BB 1 II CC 1 II DD 1 та АА 1 = BB 1 =CC 1 =DD 1. Знайдіть кут між прямими ВВ 1 та АD.