Математические модели реальных процессов в природе и обществе Задачи оптимизации и математическое моделирование Авторы проекта: Авторы проекта: Васильев Пётр Петрович, Корякина Алёна Олеговна, Попова Светлана Сергеевна, учащиеся 10 б класса (социально-экономический профиль). МОУ « Никифоровская СОШ 1» Руководитель: Руководитель: Муравьёва Инна Николаевна, учитель математики и экономики. Адрес: Адрес: Тамбовская область, Никифоровский район, р.п. Дмитриевка ул. Центральная д.18, кв. 2. дом. тел.: е-mail: 2008 г.

Аннотация проекта Математическая модель – важное понятие современной прикладной математики. Её взаимосвязи с экономикой, информатикой и краеведением позволяют создать адекватное представление об окружающем мире, формировать социально-экономические компетенции учащихся. Данный проект является подарком к 80-летию Никифоровского района Тамбовской области.

Задачи 1. Изучить научно-теоретическую и методическую литературу о задачах линейного программирования. 2. Обработать и обобщить информацию, полученную в результате самостоятельного исследования. 3. Решить реальные задачи оптимизации, связанные с планированием производства в Никифоровском районе Тамбовской области. Цель проекта: Цель проекта: рассмотреть математические модели в экономике на примере решения задач линейного программирования, адаптированных к социально-экономическим реалиям жизни.

Содержание краткий исторически очерк; краткий исторически очерк; краткий исторически очерк; краткий исторически очерк; постановка задачи линейного программирования; постановка задачи линейного программирования; постановка задачи линейного программирования; постановка задачи линейного программирования; каноническая форма линейного программирования; каноническая форма линейного программирования; каноническая форма линейного программирования; каноническая форма линейного программирования; симплекс-метод. симплекс-метод. симплекс-метод. Что такое линейное программирование? Задача оптимизации. Экономика Никифоровского района Тамбовской области; Экономика Никифоровского района Тамбовской области; Экономика Никифоровского района Тамбовской области; Экономика Никифоровского района Тамбовской области; Задача 1; Задача 1; Задача 1; Задача 1; Задача 2; Задача 2; Задача 2; Задача 2; Задача 3. Задача 3. Задача 3. Задача 3. Вывод

Краткий исторический очерк При математическом анализе процесса расширенного воспроизводства использовались алгебраические соотношения При математическом анализе процесса расширенного воспроизводства использовались алгебраические соотношения 19 век Американский экономист В.В. Леонтьев обосновал с помощью метода анализа экономики «затраты- выпуск» межотраслевую модель производства и распределения продукции США.Американский экономист В.В. Леонтьев обосновал с помощью метода анализа экономики «затраты- выпуск» межотраслевую модель производства и распределения продукции США г. Русский математик Л.В. Канторович открыл метод линейного программирования.Русский математик Л.В. Канторович открыл метод линейного программирования г. Американским учёным Дж. Б. Данцигом разработан эффективный метод решения задач линейного программирования – симплекс-метод.Американским учёным Дж. Б. Данцигом разработан эффективный метод решения задач линейного программирования – симплекс-метод г. Академик Л.В. Канторович и американский профессор Т. Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за «вклад в разработку теории оптимального использования ресурсов в экономике».Академик Л.В. Канторович и американский профессор Т. Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за «вклад в разработку теории оптимального использования ресурсов в экономике» г.

Постановка задачи линейного программирования Многие практические задачи сводятся к системам неравенств относительно нескольких переменных. В качестве примера можно указать задачи, связанные с планированием производства. Обычно эти задачи формируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах, которые, как правило, задаются при помощи ряда неравенств. В итоге приходится искать наибольшее или наименьшее значение некоторой функции в области, которая задаётся системой неравенств. Задачи такого типа относятся к задачам линейного программирования.

Каноническая форма задачи линейного программирования Каждую задачу линейного программирования можно свести к следующей стандартной форме: найти неотрицательные значения переменных x 1, x 2,…, x n, которые удовлетворяли бы системе уравнений: а 11 x 1 + a 12 x 2 + ………… + a 1n x n = b 1 а 21 x 1 + a 22 x 2 + ………… + a 2n x n = b 2 ………………………………………………… а m1 x 1 + a m2 x 2 + ………… + a mn x n = b m и обращали в минимум функцию L(x 1, x 2,…, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … и обращали в минимум функцию L(x 1, x 2,…, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n. + c n x n. Так сформулированную задачу специалисты называют общей задачей линейного программирования в канонической форме.

Симплекс-метод Симплекс-метод даёт возможность минимизировать функцию на выпуклой многогранной области многомерного пространства путём определённого перебора вершин этой области. Этот метод используется для решения задач линейного программирования с помощью ЭВМ.

Алгоритм симплекс-метода 1. Определяется некоторый опорный план, которому соответствует вершина области допустимых решений. 2. Найденный опорный план (вершина) проверяется на оптимальность. Пусть этот план не оптимален. 3. Определяется следующий опорный план (вершина) лучший по отношению к предыдущему в результате движения по ребру. Вершина проверяется на оптимальность. 4. Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не будет найдена оптимальная вершина, то есть решение задачи линейного программирования.

Задача оптимизации По своей сущности задача оптимизации – это математическая модель определённого процесса производства продукции, его распределении, хранении, переработки, транспортирования, покупки или продажи и т.д. Это обычная математическая задача типа: дано /найти/ при условии, но которая имеет множество возможных решений. По своей сущности задача оптимизации – это математическая модель определённого процесса производства продукции, его распределении, хранении, переработки, транспортирования, покупки или продажи и т.д. Это обычная математическая задача типа: дано /найти/ при условии, но которая имеет множество возможных решений. Таким образом, задача оптимизации – задача выбора из множества вариантов наилучшего, оптимального.

Экономика Никифоровского района Тамбовской области В состав холдинга «Русский сахар» входит один из крупнейших в России производителей сахара-песка ОАО «Сахарный завод «Никифоровский». В 2008 году в течение свекловичного сезона переработано 581,3 тыс.тонн сахарной свёклы и выработано из неё 89,978 тыс.тонн сахара-песка. В состав холдинга «Русский сахар» входит один из крупнейших в России производителей сахара-песка ОАО «Сахарный завод «Никифоровский». В 2008 году в течение свекловичного сезона переработано 581,3 тыс.тонн сахарной свёклы и выработано из неё 89,978 тыс.тонн сахара-песка. Сегодня ОАО «Сахарный завод «Никифоровский» - ведущее предприятие отрасли, которое не раз получало высокую оценку в различных конкурсах и рейтингах. Сегодня ОАО «Сахарный завод «Никифоровский» - ведущее предприятие отрасли, которое не раз получало высокую оценку в различных конкурсах и рейтингах. ООО «Агро Ник» играет значительную роль в социально-экономической жизни района. ООО «Агро Ник» играет значительную роль в социально-экономической жизни района. Валовой сбор за 2008 год составил: Валовой сбор за 2008 год составил: - озимой пшеницы – т.; - озимой пшеницы – т.; - гороха – 2355 т.; - гороха – 2355 т.; - ячменя – 6230 т.; - ячменя – 6230 т.; - рапса – 202 т.; - рапса – 202 т.; - яровой пшеницы – 1155 т.; - яровой пшеницы – 1155 т.; - сахарной свёклы – т. - сахарной свёклы – т. За годы существования ООО было создано более 100 новых рабочих мест. Люди имеют высокий заработок. За годы существования ООО было создано более 100 новых рабочих мест. Люди имеют высокий заработок. На территории Никифоровского района осуществляется реализация национального проекта «Развитие АПК». Основные надежды возлагаются на создание нового крупного производства с запрограммированной высокой экономической эффективностью: строительство свиноводческого комплекса в ООО «Центральное» по выращиванию и откорму 50 тыс. голов свиней в год с ежегодным производством 5,691 тыс. т. свинины. На территории Никифоровского района осуществляется реализация национального проекта «Развитие АПК». Основные надежды возлагаются на создание нового крупного производства с запрограммированной высокой экономической эффективностью: строительство свиноводческого комплекса в ООО «Центральное» по выращиванию и откорму 50 тыс. голов свиней в год с ежегодным производством 5,691 тыс. т. свинины.

С растворобетонного узла ООО «Центральное» привозят бетон для строительства свинокомплекса КАМАЗами – миксерами вместительностью по 5 и 10 кубов. За один час комплекс может принять не более 10 КАМАЗов, при этом не более 8 КАМАЗов по 5 кубов и не более 6 КАМАЗов по 10 кубов. Сколько КАМАЗов по 5 и 10 кубов нужно отправлять с РБУ на свинокомплекс за 1 час, чтобы перевозить наибольшее количество бетона? Задача 1

Пусть за один час отправляется x КАМАЗов по 5 кубов и y КАМАЗов по 10 кубов. По условию задачи получим систему неравенств: x0, x0, y0, y0, x8, x8, y6, y6, x+y10. x+y10. Решение Всего за один час перевозится 5x +10y кубов бетона. Задача свелась к нахождению наибольшего значения линейной функции: S(x ; y) = 5x + 10y в области, заданной системой неравенств. Множеством решений данной системы является многоугольник F, изображённый на рисунке. у х F (4;6) Среди всех точек многоугольника F функция S(x ; y) = 5x + 10y принимает наибольшее значение в вершине многоугольника (4;6). Это значение равно S(4;6) = = 80. Ответ: 4 КАМАЗа по 5 кубов и 6 КАМАЗов по 10 кубов бетона.

С полей ОАО «Голицыно» и ООО «Агро Ник» на склады ОАО «Сахарный завод «Никифоровский» нужно привести сахарную свёклу. ОАО «Голицыно» всю свёклу может погрузить на 80 машин, а ООО «Агро Ник» на 100 машин. Склады ОАО «Сахарный завод «Никифоровский» должны принять: склад 1 – 50 машин, склад 2 – 70 машин, склад 3 – 60 машин. Количество бензина (в литрах), которое расходует одна машина на пробег с полей до склада, задаётся таблицей 1. Задача 2 Организации Склады 123 ОАО «Голицыно»245 ООО «Агро Ник»453 Таблица 1 Требуется составить план перевозок сахарной свёклы, при котором общий расход бензина будет наименьшим.

Пусть х – число машин, отправленных с полей ОАО «Голицыно» на склад 1, а у – на склад 2. Тогда план перевозок задаётся таблицей 2. Решение Организации Склады 123 ОАО «Голицыно» ху 80-х-у ООО «Агро Ник»50-х 70-ух+y-20 Таблица 2 Их таблицы 1 и 2 находим общий расход бензина: S(x;y)= 2x+4y+5(80-x-y)+4(50-x)+5(70-y)+3(x+y-20)=890-4x-3y. В таблице 2 все числа должны быть неотрицательными. x0, y0, 80-x-y0, 50-x0, x+y-2010, 70-y0

Задача свелась к нахождению наименьшего значения линейной функции S(x;y)=890-4x-3y в области, заданной системой неравенств. (10;70)(0;70) (50;0) (50;30) (0;20) (20;0) у х F Множество решений данной системы является многоугольник F, изображённый на рисунке. Наименьшее (и наибольшее) значение функции S(x ; y) принимает в одной из вершин многоугольника F. Вычисляя её значение в этих вершинах, получаем: S(0;20)=830 S(50;30)=600 S(0;70)=680 S(50;0)=690 S(10;70)= 640 S(20;0)=810 Наименьшее из этих значений, равное 600, функция принимает при x=50, у=30. При этих значениях x и y таблица 2 принимает вид. Организации Склады 123 ОАО «Голицыно» ООО «Агро Ник» Ответ: наименьший расход бензина 600 литров

ОАО «Сахарный завод «Никифоровский» производит 2 продукта: сахарный песок и патоку мелассу в количестве x 1 и x 2 т. за месяц соответственно. Тонна сахарного песка приносит рублей прибыли, а тонна патоки мелассы – 8000 рублей. Производственные мощности завода позволяют выпускать не более 100 тонн двух продуктов вместе, при этом производство сахарного песка не может превышать более чем в 3 раза производства патоки. Надо определить оптимальный объём производства, приносящий ОАО «Сахарный завод «Никифоровский» максимальную прибыль. Задача 3

Линейная функция имеет вид: S=12 Линейная функция имеет вид: S=12x 1 +8x 2 тысяч рублей. 0, x 1 0, 0, x 2 0, 100, x 1 +x 2100, 3 x 13x 2. Решение x 2, тонн x 1,тонн x 1 +x 2 =100 A x1=3x2x1=3x2 Графическая интерпретация задачи оптимизации В точке А, соответствующей координатам x 1 =75, x 2 =25, достигается наибольший из допустимых значений x 1 =75. Следовательно, S=12x 1 +8x 2 = =1100 тыс. рублей Ответ: x 1 =75 т., x 2 =25 т.

Вывод В результате работы над проектом мы выяснили, что математические модели в экономике представляют формализованное описание управляемого экономического объекта (процесса), включающее заранее заданные известные параметры, показатели и искомые неизвестные величины, характеризующие вместе состояние объекта, его функционирование, объединённые между собой связями в виде математических зависимостей, формул. Экономико-математические модели представляют обширный и достаточно мощный научно- исследовательский, аналитический инструмент познания.

Информационные ресурсы 1. Баврин И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и экономике. – М.: Просвещение, 1999 г. 2. Математика в современном мире. – М.: Мир, 1967 г. 3. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. – М.: Наука, 1984 г. 4. Подшивки районных газет «Знамя» и «Уездная жизнь», г. 5. CD-ROM. Intel. Обучение для будущего