Тема 6. Принципы обработки данных Содержание 1 Обработка результатов измерений 2 Прямые многократные измерения. Методика обработки результатов 3 Однократные измерения. Методика обработки результатов 4 Косвенные измерения. Методика обработки результатов 5 Совместные и совокупные измерения. Методика обработки результатов 6 Прямые неравноточные измерения. Методика обработки результатов 7 Результат измерения 8 Суммирование погрешностей 9 Критерий ничтожно малой погрешности 10 Классы точности средств измерений

1 Обработка результатов измерений Точную оценку действительного значения измеряемой величины возможно получить лишь путем ее многократных измерений и соответствующей обработки их результатов. Правильно обработать полученные результаты наблюдений – это значит получить наиболее точную оценку действительного значения измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение. В процессе обработки результатов наблюдений последовательно решаются следующие основные задачи: определение точечных оценок закона распределения результатов измерений; исключение «промахов» (по одному из критериев); исключение систематических погрешности измерений; оценка закона распределения по статистическим критериям (используются критерии χ 2 – Пирсона, Колмогорова, составной); определение доверительных границ неисключенного остатка систематической составляющей, случайной составляющей и общей погрешности результата измерения; запись результата измерения. 2 Прямые многократные измерения. Методика обработки результатов Прямые многократные измерения делятся на равно- и неравноточные. Равноточными называются измерения, которые проводятся средствами измерений одинаковой точности по одной и той же методике при неизменных внешних условиях. При равноточных измерениях СКО результатов всех рядов измерений равны между собой. Задача обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение.

Исходной информацией для обработки является ряд из n (n>4) результатов измерений, из которых исключены известные систематические погрешности, – выборка. Число n зависит как от требований к точности получаемого результата, так и от реальной возможности выполнять повторные измерения. Последовательность обработки результатов прямых многократных измерений состоит из ряда этапов. Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений. На этом этапе определяются: среднее арифметическое значение х измеряемой величины; СКО результата измерения ; СКО среднего арифметического значения. Грубые погрешности и промахи исключаются, после чего проводится повторный расчет оценок среднего арифметического значения и его СКО. Определение закона распределения результатов измерений или случайных погрешностей измерений. Первым шагом при идентификации закона распределения является построение по исправленным результатам измерений x i вариационного ряда (упорядоченной выборки). В вариационном ряду результаты измерений (или их отклонения от среднего арифметического) располагают в порядке возрастания. Далее этот ряд разбивается на оптимальное число T, как правило, одинаковых интервалов группирования длиной. Оптимальным является такое число интервалов Т, при котором возможное максимальное сглаживание случайных флуктуации данных сопровождается с минимальным искажением от сглаживания самой кривой искомого распределения. значение длины интервала группирования h всегда округляют в большую сторону, иначе последняя точка окажется за пределами крайнего интервала.

Далее определяют интервалы группирования экспериментальных данных в виде и подсчитывают число попаданий (частоты) результатов измерений в каждый интервал группирования. Сумма этих чисел должна равняться числу измерений. По полученным значениям рассчитывают вероятности попадания результатов измерений (частости) в каждый из интервалов группирования по формуле где. Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму, полигон и кумулятивную кривую. Рис. 1. Гистограмма, полигон (а) и кумулятивная кривая (б)

Оценка закона распределения по статистическим критериям. При числе наблюдений n>50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона (хи-квадрат) или критерий Мизеса Смирнова. При 50>n>15 для проверки нормаль­ности закона распределения применяется составной критерий (d-критерий). Определение доверительных границ случайной погрешности. Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель z p при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности. Определение границ неисключенной систематической погрешности θ результата измерений. Под этими границами понимают найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. Она образуется из ряда составляющих: как правило, погрешностей метода и средств измерений, а также субъективной погрешности. Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. Доверительная вероятность при определении границ θ принимается равной доверительной вероятности, используемой при нахождении границ случайной погрешности. Определение доверительных границ погрешности результата измерения Δ p. Данная операция осуществляется путем суммирования СКО случайной составляющей S x и границ неисключенной систематической составляющей θ в зависимости от соотношения θ/S x. Запись результата измерения. Результат измерения записывается в виде при доверительной вероятности.

3 Однократные измерения. Методика обработки результатов Погрешность результата прямого однократного измерения зависит от многих факторов, но в первую очередь определяется, естественно, погрешностью используемых средств измерений. Поэтому в первом приближении погрешность результата измерения можно принять равной погрешности, которой в данной точке диапазона измерений характеризуется используемое средство измерений. В общем случае задача оценки погрешности полученного результата обычно осуществляется на основе сведений о пределе допускаемой основной погрешности средства измерения Δ СИ (по нормативно-технической документации на используемые средства измерений) и известным значениям дополнительных погрешностей Δ ДОП от воздействия влияющих величин. Условно считают, что методические и субъективные погрешности при проведении измерения незначимы. Тогда максимальное значение суммарной погрешности результата измерения (без учета знака) может быть найдено суммированием составляющих по абсолютной величине Более реальная оценка погрешности может быть получена статистическим сложением составляющих погрешности где Δ i – граница i-той неисключенной составляющей систематической погрешности, включающая в себя погрешности средства, метода, дополнительные погрешности и др.; k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью; m – количество неисключенных составляющих. Результат измерения записывается по первой форме записи результатов: Х И, Δ=±Δ Σ, Р=0,95, где Х И – результат однократного измерения, Δ Σ - суммарная погрешность результата измерений, Р – доверительная вероятность (при значении Р=0,95 может не указываться).

4 Косвенные измерения. Методика обработки результатов При косвенных измерениях значение физической величины z определяется, по функциональной зависимости ее с другими физическими величинами : При этом погрешность оценки систематической и случайной составляющих величины z зависит не только от погрешностей результатов измерений, но и от вида используемой функциональной зависимости. Пусть каждая из величин измерена с систематической погрешностью Δ cj. Необходимо оценить значение погрешности Δ z результата косвенного измерения. Рассматривая z как функцию m переменных аj, запишем ее полный дифференциал: или Положив, что погрешности измерений достаточно малы, заменим дифференциалы соответствующими приращениями: Каждое слагаемое вида представляет собой частную погрешность результата косвенного измерения, вызванную погрешностью определения величины a j. Рассмотрим оценивание случайной погрешности результатов косвенных измерений. Пусть величины a j измерены со случайными погрешностями, имеющими нулевые математические ожидания и дисперсии.

5 Совместные и совокупные измерения. Методика обработки результатов Совместные и совокупные измерения характеризуются тем, что значения искомых величин рассчитывают по системе уравнений, связывающих их с некоторыми другими величинами, определенными посредством прямых или косвенных измерений. При этом измеряются несколько комбинаций значений указанных величин. Каждая такая комбинация позволяет получить одно уравнение, а система содержит всю информацию о значениях искомых величин и имеет вид где F i – символ функциональной зависимости между величинами в i-м опыте; i=1, 2, …, n; n – число опытов; Q i – значения искомых величин, общее число которых равно m; X r (i) – полученные в i-том опыте значения k величин, измеряемых прямым или косвенным методом. Совокупные измерения – это измерения, при которых искомые значения величин находят решением системы уравнений из нескольких одноименных величин, получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин. Совместные измерения – это производимые одновременно измерения двух или нескольких не одноименных величин для нахождения зависимости между ними. Числовые значения искомых величин, как и в случае совокупных измерений, определяются из системы уравнений, связывающих значения искомых величин со значениями величин, измеренных прямым или косвенным способом. После подстановки в исходную систему уравнений результатов X r (i) прямых или косвенных измерений и проведения необходимых преобразований получим n уравнений, содержащих лишь искомые величины и числовые коэффициенты: Такие уравнения называют условными.

Для того чтобы рассчитать значения искомых величин, достаточно иметь m уравнений, т.е. столько же, сколько содержится неизвестных. Тогда результаты измерений и доверительные границы их погрешностей можно найти методами обработки результатов косвенных измерений. Однако обыкновенно для уменьшения погрешностей результатов измерений делается значительно больше измерений, чем это необходимо для определения неизвестных, т.е. n>m. Вследствие ограниченной точности определения величин X r условные уравнения одновременно не обращаются в тождества ни при каких значениях искомых величин. И поскольку найти истинные значения искомых величин невозможно, то задача сводится к нахождению их оценок, представляющих собой наилучшие приближения к истинным значениям. где v i – величины, называемые остаточными погрешностями условных уравнений. Если в систему условных уравнений подставить истинные значения искомых величин, то остаточные погрешности превратятся в случайные погрешности условных уравнений. Одним из наиболее общих способов отыскания оценок истинных значений измеряемых величин является регрессионный анализ, или, как его часто называют, метод наименьших квадратов. Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, что наивероятнейшими значениями аргументов искомой аналитической зависимости будут такие, при которых сумма квадратов отклонений экспериментальных значений функции y i от значений самой функции y, будет наименьшей: Обычно функция y является функцией нескольких аргументов:. На основе метода наименьших квадратов можно выполнить аппроксимацию различных аналитических зависимостей.

При решении задачи в общем случае, когда условные уравнения не линейны, а результаты отдельных измерений коррелированны, иногда возникает ряд непреодолимых трудностей. Задача относительно не сложно решается лишь тогда, когда условные уравнения линейны или приведены к линейным известными способами и при отсутствии корреляции между результатами отдельных измерений. Оценки, даваемые методом наименьших квадратов, являются состоятельными и несмещенными, а при нормальном распределении результатов измерений и эффективными. Под состоятельностью понимают сходимость по вероятности оценки к оцениваемому параметру. Она выражается в том, что при увеличении объема выборки оценка приближается к оцениваемому значению числовой характеристики. Несмещенность оценки – это равенство математического ожидания оценки значения соответствующей числовой характеристике при любом объеме выборки. Эффективность – это мера рассеяния оценки в окрестности оцениваемого параметра. Чем меньше дисперсия, тем эффективней оценка.

6 Прямые неравноточные измерения. Методика обработки результатов В практике измерений имеют место также и неравноточные измерения, когда измерения одной и той же физической величины проводятся несколькими наблюдателями различной квалификации и опыта, на приборах разного класса точности или в течение нескольких дней. Полученные значения средних арифметических отдельных выборок отличаются друг от друга, поэтому при оценке результата измерения и его погрешности учитывается степень доверия к полученным выборочным средним в виде «веса», который устанавливается для каждой серии измерений пропорционально одному из параметров (вероятности, числу измерений, величине среднего квадратичного отклонения), либо методом экспертных оценок. Если установлено, что все выборки неравноточных измерений принадлежат одной генеральной совокупности, то определяют статистические параметры этой генеральной совокупности и устанавливаются границы доверительной вероятности по распределению Стьюдента. В практике измерений случается, что при нескольких сериях измерений некоторые из них оказываются менее надежными. В этом случае степень доверия оценивается весом данной серии измерений. Чем больше степень доверия к результату, тем больше число, выражающее вес. Значение измеряемой величины, наиболее близкое к истинному значению, составляет: В основу вычисления обычно кладут средние квадратичные погрешности. Веса соответственных групп измерений считают обратно пропорциональными их дисперсиям. Средняя квадратичная погрешность средневзвешенного значения S o определяется по формуле: где P i * - вес каждого результата измерений, m - число рядов измерений.

7 Результат измерения Результат – значение ФВ, полученное путём измерения. Результат измерения представляется именованным или неименованным числом. Округление результата измерения Поскольку погрешности измерений определяют лишь зону неопределенности результатов, их не требуется знать очень точно. В окончательной записи погрешность измерения принято выражать числом с одним или двумя значащими цифрами. Эмпирически были установлены следующие правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного результата измерения. 1. Погрешность результата измерения указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной - если первая цифра равна 3 или более. 2. Результат измерения округляется до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. 3. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остальные цифры числа не изменяются. 4. Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу. 5. Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не изменяют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная. 6. Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним-двумя лишними знаками.

Формы представления результатов измерения Результат измерения пригоден для дальнейшего использования лишь тогда, когда помимо измеренного значения физической величины в нем указывается и значение погрешности. Производственные измерения проводятся обычно однократно, и точность полученного результата оценивается по нормируемым метрологическим характеристикам используемых средств измерения. Вычисляться должны как абсолютные, так и относительные погрешности результата измерения, так как первая из них нужна для округления результата и его правильной записи, а вторая - для однозначной сравнительной характеристики его точности. Конечный результат измерений согласно ГОСТ представляется в одной из четырех форм: 1)интервалом, в котором с установленной вероятностью находится суммарная погрешность измерения; 2) интервалом, в котором с установленной вероятностью находится систематическая составляющая погрешности, стандартной аппроксимацией функции распределения случайной составляющей погрешности измерения и средним квадратичным отклонением случайной составляющей погрешности измерения; 3) стандартными аппроксимациями функции распределения систематической и случайной составляющих погрешности измерения и их средними квадратичными отклонениями; 4) функциями распределения систематической и случайной составляющих погрешности измерения. Выбор формы представления результата измерения определяется назначением измерений и характером использования их результатов.

8 Суммирование погрешностей Задача о суммировании погрешностей возникает при анализе как отдельных измерительных преобразователей, так и измерительного устройства в целом. Если измерительное устройство - это цепь измерительных преобразователей, то общее число составляющих его погрешности может достигать 10…50 и более. Определяющим признаком при выборе метода суммирования погрешностей является разделение их не на систематические и случайные, а по признаку их сильной или слабой взаимной корреляционной связи. Теория вероятностей для дисперсии суммы двух случайных величин дает следующее выражение : где r - коэффициент корреляции этих величин. Для случая сильно коррелированных случайных величин. Получаем алгебраическое суммирование составляющих с учетом их знака: При слабой корреляционной связи или ее отсутствии ( ). Получаем геометрическое суммирование составляющих: При определении суммарной погрешности устройства используют упрощенный подход к определению взаимной корреляции погрешностей. Если ряд погрешностей вызывается одной и той же причиной, в результате чего они оказываются достаточно сильно коррелированными, то коэффициент их взаимной корреляции принимается равным ±1. Если же погрешности вызываются причинами, не имеющими между собой явной связи, то их корреляция принимается равной нулю. Никакие промежуточные значения не используются.

9 Критерий ничтожно малой погрешности Вопрос о том, какими составляющими при расчете погрешностей можно пренебрегать, возникает постоянно. Это связано с тем, что степень точности определения суммируемых погрешностей невысока, поэтому нет смысла суммировать те из них, которые имеют по сравнению с другими малые значения, поскольку это не по­высит точности суммарной погрешности. Пренебрежение малыми погрешностями позволит упростить вычисления при нахождении результирующей погрешности. Следовательно, необходимо установить критерий ничтожно малой погрешности, т.е. математическое правило, позволяющее исключать последнюю из расчета. Этот критерий также необходим при выборе класса точности образцового средства измерений в зависимости от класса точности поверяемого средства измерений. Один из возможных вариантов определения критерия ничтожно малой погрешности состоит в том, что если одна величина больше другой на порядок, то ею можно пренебречь. При сложении некоррелированных случайных составляющих суммируются их дисперсии (СКО). В случае двух составляющих суммарная случайная погрешность определяется по формуле В соответствии с критерием, если дисперсия первой составля­ющей больше дисперсии второй составляющей более чем в 10 раз, то СКО суммарной случайной погрешности составит. Следовательно, пренебрежение дисперсией второй составляющей по сравнению с дисперсией первой составляющей приводит к тому, что СКО суммарной случайной погрешности будет определено с ошибкой в 5%. Критерий ничтожно малой погрешности для СКО случайной погрешности запишется в виде Таким образом, погрешностью можно пренебречь, если ее СКО или доверительный интервал в 3 раза меньше, чем у оставляемых погрешностей.

10 Классы точности средств измерений Характеристики, введенные ГОСТ , наиболее полно описывают метрологические свойства СИ. Однако в настоящее время в эксплуатации находится достаточно большое число СИ, метрологические характеристики которых нормированы несколько по-другому, а именно на основе классов точности. Класс точности – это обобщенная характеристика СИ, выражаемая пределами допускаемых значений его основной и дополнительной погрешностей, а также другими характеристиками, влияющими на точность. Класс точности не является непосредственной оценкой точности измерений, выполняемых этим СИ, поскольку погрешность зависит еще от ряда факторов: метода измерений, условий измерений и т.д. Класс точности лишь позволяет судить о том, в каких пределах находится погрешность СИ данного типа. Пределы допускаемой основной погрешности Δ СИ, определяемые классом точности это интервал, в котором находится значение основной погрешности СИ. Если СИ имеет незначительную случайную составляющую, то определение Δ СИ относится к нахождению систематической погрешности и случайной погрешности, обусловленной гистерезисом, и является достаточно строгим. При этом предел Если СИ имеет существенную случайную погрешность, то для него определение предела допускаемой основной погрешности яв­ляется нечетким. Его следует понимать как интервал, в котором находится значение основной погрешности с неизвестной вероятностью, близкой к единице: где К коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р. Предел допускаемой дополнительной погрешности, вызванной изменением Δε влияющей величины ε, может быть найден с использованием функции влияния

Классы точности СИ устанавливаются в стандартах или технических условиях. Средство измерений может иметь два и более класса точности. Например, при наличии у него двух или более диапазонов измерений одной и той же физической величины ему можно присваивать два или более класса точности. Приборы, предназначенные для измерения нескольких физических величин, также могут иметь различные классы точности для каждой измеряемой величины. Пределы допускаемых основной и дополнительной погрешностей выражают в форме приведенных, относительных или абсолютных погрешностей. Выбор формы представления зависит от характера изменения погрешностей в пределах диапазона измерений, а также от условий применения и назначения СИ. Пределы допускаемой абсолютной основной погрешности устанавливаются по одной из формул: или Первая формула описывает чисто аддитивную погрешность, а вторая – сумму аддитивной и мультипликативной погрешностей. Пределы допускаемой приведенной основной погрешности определяются по формуле: Пределы допускаемой относительной основной погрешности определяются по формуле: если. В случае если абсолютная погрешность задается формулой ±(a+bx), пределы допускаемой относительной основной погрешности