Выполнили ученицы 10 Б класса Королёва Таня и Пузанова Марина Преподаватель: Соловьёва А. Х.

Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой. P O

Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Доказательство: рассмотрим правильную пирамиду РА1А2…Аn. Сначала докажем, что все боковые рёбра этой пирамиды равны. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота РО пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности (например, боковое ребро РА1 – гипотенуза треугольника ОРА1, в котором ОР=h, OA1=R). По теореме Пифагора любое боковое ребро равно корню из суммы квадратов высоты и радиуса описанной около основания окружности, поэтому РА1=РА2=…=РАn. Мы доказали, что боковые рёбра правильной пирамиды РА1А2…Аn равны друг другу, поэтому боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников также равны друг другу, так как А1А2…Аn – правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать. P A1 A2 An O h R

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённой из её вершины, называется апофемой. Ясно, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Теорема. Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Доказательство. Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники, основания которых – стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель 1/2d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, то есть его периметр. Теорема доказана. d